La resolución de $\sin(2v) = \sin(v)$

Question

$$\sin(2v) = \sin(v)$$ ¿Por qué no esta ecuación se resuelve mediante el establecimiento de: $$2v = v + 2\pi n \quad \leftrightarrow \quad v = 2\pi n\\2v = \pi - v + 2\pi n \quad\leftrightarrow \quad 3v = \pi + 2\pi n \quad \leftrightarrow \quad v = \frac{\pi}{3} + \frac{2\pi n}{3}$$

Así es como he visto otros similares ecuaciones de ser resuelto.

Por favor, tenga en cuenta que yo era capaz de resolver la ecuación mediante el establecimiento $\sin(2v) = 2\sin(v)\cos(v)$, sólo quiero saber por qué este particular de la ecuación no puede resolverse de la misma manera que había presentado.

Las soluciones correctas son (según mi literatura): $v = \pi n$ o $v = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n$

Answer 1

Usted puede resolver su método y su respuesta es correcta.

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EDITAR

Veamos las soluciones de la forma $\dfrac{\pi}3 + \dfrac{2\pi n}3$. $n$ un ser sólo de la forma $3k$ o $3k \pm 1$.

• Si $n=3k$, obtenemos la solución a $2k\pi + \dfrac{\pi}3$
• Si $n=3k+1$, obtenemos la solución de la forma $2k\pi + \pi$
• Si $n=3k-1$, obtenemos la solución de la forma $2k\pi - \dfrac{\pi}3$

El de arriba, junto con la solución de $2k \pi$ le da todas las posibilidades como la solución.

Answer 2

Tenga en cuenta que tanto sus soluciones y las soluciones en la literatura repetir con un período de $2\pi$, por lo que es suficiente para verificar que estén a la misma dentro de la $2\pi$-intervalo de $[-\pi, \pi)$.

En ese intervalo, la literatura, las soluciones son:

• $v=\pi n$, lo $v=-\pi$ o $v=0$ ($n=-1$ o $n=0$)
• $v=\pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n$, lo $v = -\frac{\pi}{3}$ o $v=\frac{\pi}{3}$ ($n=0$).

mientras que sus soluciones son:

• $v=2\pi n$, lo $v=0$
• $v=\frac{\pi}{3}+\frac{2\pi n}{3}$, lo que $v=-\pi$, $v=-\frac{\pi}{3}$, o $v=\frac{\pi}{3}$ ($n=-2,-1,0$ respectivamente).

Es decir, usted obtiene todas las mismas soluciones, como el libro, solo que dividir de manera diferente.