Una curva donde todos tangente líneas son concurrentes deben estar en línea recta

Question

Estoy tratando de resolver esta cuestión en el clásico Do Carmo de la geometría diferencial libro (página 23):

5. Regular de la parametrización de la curva de $\alpha$ tiene la propiedad de que todos sus tangente a las líneas pasan a través de un punto fijo. Demostrar que la traza de $\alpha$ es un (segmento a) una línea recta.

Mi intento

Tras la declaración de la cuestión, hemos $\alpha(t)+\lambda(s)\alpha'(s)=const$.

Tomando la derivada de ambos lados tenemos $\alpha'(s)+\lambda'(s)\alpha'(s)+\lambda(s)\alpha''(s)=0$ que es igual a $(1+\lambda'(s))\alpha'(s)+\lambda(s)\alpha''(s)=0$.

Desde $\alpha'(s)$ $\alpha''(s)$ son linealmente independientes, tenemos $\lambda'(s)=-1$ $\lambda(s)=0$ por cada $s$ lo cual me pareció extraño, ya que la derivada de la función cero es cero.

Necesito una aclaración en este punto y una mano para terminar mi intento de solución.

Answer 1

Supongo que se supone que $\alpha$ es parametrizada por longitud de arco (o longitud constante), por lo $|\alpha'(s)|=1$ y la diferenciación de da $\langle \alpha' , \alpha''\rangle = 0$. Por lo tanto, si $\alpha''(s)\neq \vec 0$, $\alpha'(s), \alpha''(s)$ son linealmente independientes.

Así que, como usted dijo, usted encontrará $\lambda (s) = 0$ $\lambda'(s) = -1$ siempre $\alpha''(s)\neq 0$.

El conjunto $\{ s : \alpha''(s)\neq \vec 0\}$ es un conjunto abierto. Si es no vacío, contiene algunos intervalos de $I$. Pero su afirmación en la $\lambda$ no puede ser verdadera en un intervalo. Así

$$\{ s : \alpha''(s)\neq \vec 0\}$$

está vacío. Por lo $\alpha''\equiv \vec 0$ $\alpha$ define una línea recta.