Si $f:[0,1] \rightarrow \mathbb{R},f(0)=0$,es convexa y integrables,probar que:$\int_{0}^{1}f(x)dx\ge(2n+1)\int_{0}^{1}(1-x^{\frac{1}{n}})f(x)dx$.

Question

Si $f:[0,1] \rightarrow \mathbb{R},f(0)=0$,es convexa y integrables,probar que:$\int_{0}^{1}f(x)dx\ge(2n+1)\int_{0}^{1}(1-x^{\frac{1}{n}})f(x)dx$.

Mi progreso: después de la simplificación conseguí $2n \int_{0}^{1}f(x) dx \le (2n+1) \int_{0}^{1} f(x)x^{\frac{1}{n}} dx$

Deje $\frac{2n}{2n+1} = \lambda , 0 < \lambda <1$ Así, tengo que demostrar que

$\int_{0}^{1} f(x)x^{\frac{1}{n}}- \lambda f(x) dx \ge 0$

Answer 1

El uso de la convexidad y el hecho de que $f(0)=0$, obtenemos que para cada una de las $\alpha$ en $[0,1]$, $f\left(\alpha x\right)\leqslant \alpha f(x)$. Por lo tanto, con $\alpha=x^{\frac 1{2n}}$, tenemos $$\int_0^1f(x)x^{1/n}\mathrm dx=\int_0^1f(x)x^{\frac 1{2n}}x^{\frac 1{2n}}\mathrm dx\geqslant\int_0^1f\left(x^{1+\frac 1{2n}}\right)x^{\frac 1{2n}}\mathrm dx.$$ Ahora uso la sustitución de $u=x^{1+\frac 1{2n}}$ para obtener el resultado deseado.

Answer 2

Esto es equivalente a $$ \int_0^1f(x)\left[x^{1/n}-\frac{2n}{2n+1}\right]\mathrm{d}x\ge0\etiqueta{1} $$ Deje $x_n=\left(\frac{2n}{2n+1}\right)^n$. A continuación, $x_n^{1/n}-\frac{2n}{2n+1}=0$ $x_n$ disminuye hacia la $e^{-1/2}$.

Tenga en cuenta que $$ \int_0^1\left[x^{1/n}-\frac{2n}{2n+1}\right]\mathrm{d}x=0\etiqueta{2} $$ Deje $g(x)=f(x)-\frac{x}{x_n}f(x_n)$. A continuación, $g$ es convexa, $g(0)=g(x_n)=0$. Por lo tanto, $$ \begin{align} g(x)\le0\quad&\text{for }0\le x\le x_n\\ g(x)\ge0\quad&\text{for }x_n\le x\le1 \end{align}\etiqueta{3} $$ Por lo tanto, $$ g(x)\left[x^{1/n}-\frac{2n}{2n+1}\right]\ge0\etiqueta{4} $$ Poniendo juntos $(2)$, $(3)$, y la integral de $(4)$ rendimientos $(1)$.