Supongamos que $(\mathbb{P}_{\alpha}, \underset{\sim}{\mathbb{Q_{\alpha}}} : \alpha<\beta)$ es un forzamiento de la iteración, y que para cada una de las $\alpha$, hay un nombre $\underset{\sim}{\eta_{\alpha}}$ para el genérico añadido real en el $\alpha$th etapa. Indicar el límite de la iteración por $\mathbb{P}_{\beta}$. De lo anterior se sigue que el $\{\eta_{\alpha} : \alpha<\beta\}$ es genérico para $\mathbb{P}_{\beta}$? Intuitivamente parece verdad, pero no sé cómo demostrarlo.
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Andreas Blass
Puntos
33024
Si tengo que interpretar $\{\eta_\alpha:\alpha<\beta\}$ literalmente, ya que sólo el conjunto de estos reales, entonces la respuesta es no. Por ejemplo, si hago una finito de apoyo iteración de Cohen para forzar $\omega$ pasos, el conjunto de Cohen reales de los que me acueste no determina el modelo final, pero la secuencia de ellos.
Así que permítanme suponga que significó la secuencia de $\langle\eta_\alpha:\alpha<\beta\rangle$ lugar. Bajo supuestos razonables acerca de cómo el genérico filtros están determinados por los reales (como usted pretende, de acuerdo a tu comentario de 28 de Marzo), conocer la secuencia de $\langle\eta_\alpha:\alpha<\beta\rangle$ significa conocer la secuencia de los filtros genéricos para todos los intermedios de los forzamientos $\mathbb P_\gamma$. Que la secuencia debe ser suficiente para determinar el filtro genérico para $\mathbb P_\beta$. El caso no trivial sería el caso, de $\beta$ es un límite (y este podría ser el único caso en que originalmente la intención). Aquí la completa álgebra Booleana asociada a $\mathbb P_\beta$ debe ser generado (como un álgebra de boole, en el modelo de terreno) por la unión completa de las álgebras Booleanas asociadas a la anterior $\mathbb P_\gamma$'s. La definición de genericity de ultrafilters inmediatamente se da que, si usted sabe que la restricción de un genérico ultrafilter a un conjunto de generadores de su álgebra, entonces usted sabe todo el ultrafilter.
Dos aclaraciones: (1) "Conjunto de generadores" significa, con respecto a infinitary operaciones Booleanas en el modelo de terreno. (2) "Debe ser generado" significa que, si el anterior Booleano álgebras de generar un adecuado completa subalgebra de la álgebra asociada a $\mathbb P_\beta$, entonces no creo que uno debe llamar a $\mathbb P_\beta$ el resultado de una iteración. Nota, sin embargo, que los detalles de cómo esta generación se produce puede depender del tipo de iteración. Para finito de apoyo iteraciones, ya que basta con tomar sólo Booleano combinaciones de elementos procedentes de etapas anteriores. Para otros tipos de soportes, parece que uno necesita para tomar las uniones de cumple.
