¿Cuándo son consecutivas todas las sumas por pares?

Question

¿Qué secuencias ascendentes finitas de números enteros $(a_1, \cdots, a_n)$ con $a_1 = 0$ son tales que la secuencia obtenida al ordenar todas las sumas por pares $a_i + a_j\;\;(j > i)$ consiste en ${n \choose 2}$ ¿enteros consecutivos distintos?

Un ejemplo es la secuencia $(0, 2, 3, 4)$ , cuyo ${4 \choose 2} = 6$ las sumas por pares (después de la ordenación) constituyen la secuencia de enteros consecutivos $(2, 3, 4, 5, 6, 7)$ .

¿Hay secuencias más largas con esta propiedad?

Answer 1

Creo que podemos hacerlo por agotamiento.

Supongamos que $a_2=1$ . Entonces debe ser que $a_3=2$ para la secuencia debe incluir el sucesor de $0+1$ . En este punto, las sumas por pares son $(1,2,3)$ por lo que tendríamos que rellenar el hueco con $a_4=4$ , yieding pairwise sums $(1,2,3,4,5,6)$ . Tendríamos que rellenar el hueco con $a_5=7$ pero entonces nuestras sumas por pares se convierten en $(1,2,3,4,5,6,7,8,9,11)$ que no están en secuencia. Obsérvese que no se puede resolver esto estableciendo $a_6=10$ pues entonces $11=1+10=4+7$ tiene dos sumas.

Podemos hacer un razonamiento similar para otros valores de $a_2$ . Considera la tabla:

\begin{array}{ccc} a_2 & \text{Sequence} & \text{Pairwise sums}\\ 1&(0,1,2,4)&1\text{ to } 6\\ 2&(0,2,3,4)&2\text{ to } 7\\ 3&(0,3)&3\\ 4&(0,4)&4 \end{array}

Y creo que puedes ver a dónde va esto.

Reclamación : Si $a_2\geq 3$ la secuencia más larga es $(0,a_2)$ .

De hecho, para que uno continúe la secuencia tendríamos que ver $a_3=a_2+1$ y en este punto la secuencia de sumas se ve tentativamente como $(a_2,a_2+1,2a_2+1)$ . Como la secuencia es ascendente y $2a_2+1$ es la menor suma de términos no nulos, si la secuencia pudiera extenderse tendríamos que rellenar todos los huecos, estableciendo $a_3=a_2+2$ , $a_4=a_2+3$ etc.

Pero entonces $3a_2=a_2+2a_2=(a_2+1)+(2a_2-1)$ tiene múltiples sumas, por lo que la secuencia no puede ser extendida. Observe que esto funciona porque $a_2+1 \geq 4$ se definen de esta manera, para que siempre estén disponibles los cuatro términos mínimos necesarios para las sumas múltiples.