Demostrar que $R$ es de un anillo local con ideal maximal $M$ si y sólo si cada elemento de a $R\backslash M$ es una unidad.
Entiendo que esta es una sencilla consecuencia del lema de zorn. Pero me pregunto si esto se puede hacer sin el lema de zorn.
Cualquier ayuda o idea es muy apreciada.
Como se señaló en los comentarios, el Lema de Zorn es conocido por ser equivalente a la afirmación de que todos (distinto de cero, unital) conmutativa anillo tiene un ideal maximal.
Supongamos $S$ es un anillo conmutativo sin un ideal maximal, y $k$ a un campo. A continuación, $R=k\times S$ tiene un único ideal maximal $M=0\times S$, pero no todo elemento de a $R\setminus M$ es una unidad.
Por lo que la resistencia total del Lema de Zorn es necesaria para demostrar que si un anillo conmutativo $R$ tiene un único ideal maximal $M$, entonces cada elemento de a $R\setminus M$ es una unidad.
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