si $f$ es continua en a$\mathbb{R}$$f(r)=0,r \in \mathbb{Q}$, $f(x)=0,x \in \mathbb{R}$

Question

Supongamos que $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ es continua en a $\mathbb{R}$ y $f(r)=0$ todos los $r \in \mathbb{Q}$. Demostrar que $f(x)=0$ todos los $x \in \mathbb{R}$.

Mi intento: Definir una secuencia $(x_n)$ donde $x_n \in \mathbb{Q}$ todos los $n \in \mathbb{N}$ y asumir que $(x_n) \rightarrow a \not\in \mathbb{Q}$. Desde $f$ es continua, tenemos $\lim_n{f(x_n)}=f(a)=0$. Desde $a$ es arbitrario número irracional, tenemos $f(a)=0$ todos los $a \not\in \mathbb{Q}$. Por lo tanto, hemos demostrado la declaración.

Es mi prueba válida? o es que hay alguna falla ?

Answer 1

Tal vez debería ser más explícito por qué funciona (mencionar que cada número irracional es un límite de una sucesión de racionales (tomando dígitos decimales, será la forma canónica)).

Cada irracional tiene un único decimal de expansión (si queremos evitar recurrente (?) 9). Así que cuando $x$ es irracional sabemos $$x=\sum_{k=-m}^\infty a_k 10^{-k}$$ con $a_k \in \{ 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\}$, e $m \in \mathbb{N}$ Cuando tomamos la secuencia $$b_n=\sum_{k=-m}^n a_k 10^{-k} $$ con el mismo $a_k$ $x$ vemos que $b_n$ converge a $x$. Pero cada $b_n$ es un racional.

Sí funciona, pero sería aún más fácil usando el teorema del valor intermedio, como entre dos irracionales que es siempre racional y viceversa todos los valores deben ser cero.

Answer 2

Siempre y cuando usted sabe que usted puede definir una secuencia, entonces tu argumento es perfecto.

Quizás una manera más fácil de hacerlo es observar que desde $f$ es continua, entonces la preimagen de cualquier conjunto cerrado cerrado. En particular, la preimagen de $\{0\}$ es cerrado, y el único conjunto cerrado de reales que contiene los racionales es toda la recta real. Por lo tanto, $f\equiv 0$.

Answer 3

Suponga $f$ no es idéntica a cero, por lo que debe existir algunos irracionales $s$ tal que $f(s) \neq0$, Por la continuidad que hay algunas barrio de $s$ donde $f \neq0$, pero desde $\mathbb Q$ es denso en $\mathbb R$, esto no es posible. Y usted tiene su resultado.