Sobre los haces vectoriales asociados a los eigenspaces de una estructura casi compleja.

Question

Dejemos que $(M,J)$ sea una variedad casi compleja, es decir $M$ es una variedad suave y diferenciable de dimensión par y $J$ es un endomorfismo del haz vectorial tangente $TM$ tal que $J^2=-\textrm{id}_{TM}$ .

Dejemos que $T^{\mathbb{C}}M$ sea la complejización de $TM$ Es decir: $$T^{\mathbb{C}}M:=TM\otimes_{\mathbb{R}}\mathbb{C}=TM\oplus iTM,$$ donde el producto tensorial se realiza fibra a fibra. Entonces, el endomorfismo $J$ es diagonalizable en cada fibra. Sea $T^{(1,0)}M$ , respectivamente $T^{(0,1)}M$ sea la unión disjunta de los eigespacios asociados a $+i$ , respectivamente $-i$ . Por ejemplo, uno tiene: $$T^{(1,0)}M:=\coprod_{x\in M}E_i(J_{\vert T_x^{\mathbb{C}}M}).$$

¿Por qué $T^{(1,0)}M$ y $T^{(0,1)}M$ ¿paquetes vectoriales?

A grandes rasgos, por qué la estructura del espacio vectorial de $E_{\pm i}(J_{\vert T_x^\mathbb{C}M})$ depende continuamente de $x$ ?

De forma más general, se plantea la siguiente cuestión:

Pregunta. Dejemos que $\xi$ sea un haz vectorial y que $F$ sea un endomorfismo de $\xi$ Cuando es $\ker(F)$ ¿un haz de vectores?

Parece que la pregunta no es vacía ya que la dimensión de $\ker(F_{\vert E_b})$ puede cambiar con el punto $b\in B$ , donde $p\colon E\rightarrow B$ es la proyección de $\xi$ que, obviamente, impide $\ker(F)$ de ser un haz de vectores.

Cualquier aclaración será muy apreciada.

Answer 1

Para el caso especial de $T^{1,0}M$ y $T^{0,1}M$ Hay un argumento directo y sencillo: Dado un marco local $\{v_j\}$ para $TM$ las secciones $v_j-iJ(v_j)$ forman un marco local para $T^{1,0}M$ y las secciones $v_j+iJ(v_j)$ forman un marco local para $T^{0,1}M$ . Así se obtienen trivializaciones locales para los paquetes.

Como se indica en el comentario de @Andrew, en el entorno general (que incluso funciona para los mapas de paquetes entre diferentes paquetes sobre la misma variedad que tienen la identidad como su mapa base), la única condición para $\text{ker}(F)$ siendo un subfondo liso es que el rango es constante. Para demostrar esto, es más fácil mostrar primero que $\text{im}(F)$ es un subfondo suave. Dado $x\in M$ , elija los elementos $v_1(x),\dots,v_k(x)\in E_x$ para las que las imágenes bajo $F$ forman una base para $F(E_x)$ . Extendiéndolos arbitrariamente a secciones locales definidas en una vecindad de $x$ las imágenes bajo $F$ son linealmente independientes en una vecindad (posiblemente menor) de $x$ . Como el rango es constante, tienen que formar un marco local en esta vecindad.

Teniendo esto a mano, puedes elegir una base $\{\tilde v_{k+1}(x),\dots,\tilde v_n(x)\}$ de $\text{ker}(F_x)$ y de nuevo se extienden a las secciones locales $\tilde v_j$ de forma arbitraria. Por supuesto, $F(\tilde v_j)$ es una combinación lineal suave de $F(v_1),\dots,F(v_k)$ para cada $j=k+1,\dots,n$ . Si se restan los múltiplos correspondientes de $v_1,\dots,v_k$ de $\tilde v_j$ se obtiene una sección lisa $v_j$ de $\text{ker}(F)$ . Como las secciones resultantes son linealmente independientes en $x$ son linealmente independientes en una vecindad de $x$ y así definir un marco local.