Expandir $\frac{e^z}{(z-1)^2}$ $z=1$

Question

Necesito expandir$\frac{e^z}{(z-1)^2}$$z=1$. Traté de sustituir 1/0! + 1/1! + 1/2! + 1/3! + 1/4! + 1/5! + 1/6! + 1/7! + ... para$e$, pero no soluciona el propósito. ¿Cómo puedo resolver esto?

Answer 1

Deje $z-1=t \implies z=t+1$

Por lo tanto, $\frac{e^z}{(z-1)^2}$ = $\frac{e^{(t+1)}}{t^2}=\frac{e}{t^2}.e^t$

=$\frac{e}{t^2}[1+t+\frac{t^2}{2!}+\frac{t^3}{3!}+\cdots]$

=$e[\frac{1}{t^2}+\frac{1}{t}+\frac{1}{2!}+\frac{t}{3!}+\frac{t^2}{4!}+\cdots]$

Ahora, en sustitución de $t$$z-1$, obtenemos,

$e[(z-1)^{-2}+(z-1)^{-1}+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}.(z-1)+\frac{1}{4!}.(z-1)^{2}+\cdots]$

que es la expansión deseada.