¿Cómo puedo encontrar el punto donde dos ecuaciones algebraicas, en la forma $y=mx+b$, se cruzan sin la representación gráfica?

Question

Supongamos que tengo estas dos ecuaciones algebraicas en el formato"$y=mx+b$:

$$ y=2x+4 \\ y=3x+5 \\ $$

Ahora, por medio de gráficas de estas dos ecuaciones algebraicas sobre un plano de coordenadas, me parece que se intersecan en el punto de $(-1,2)$. Ahora, me resulta molesto a veces, cuando tratando de encontrar donde dos líneas se cruzan, tengo dos saque una hoja de papel cuadriculado y de la trama, ni hacer una tabla. ¿Cómo puedo encontrar el punto de intersección de dos ecuaciones algebraicas sin hacer cualquiera de estas cosas?

Answer 1

En el punto de $(x_0, y_0)$ donde se intersectan, $(x_0, y_0)$ satisface las dos ecuaciones, que es: $$ \left\{\begin{array}{rcl}y_0 = 2x_0 + 4 \\ y_0 = 3x_0 + 5 \end{array}\right. $$ En particular, tanto de la derecha lados son iguales a $y_0$, de modo que sean iguales el uno al otro: $$2x_0 + 4 = 3x_0 +5.$$ Ahora, la reorganización da $$x_0 = -1.$$ De nuevo, el punto de $(x_0, y_0)$ es en ambas líneas, por lo que podemos sustituir en la ecuación, es decir, la primera, y obtener un valor de $y_0$: $$y_0 = 2(-1) + 4 = 2.$$ Así, el punto de intersección es $$(x_0, y_0) = (-1, 2),$$ y podemos comprobar esto, si nos gusta, sustituyendo en la otra ecuación.

Puede ser un instructivo del ejercicio, por el camino, para resolver esto por un par de líneas en el plano especificado en este camino, que es, para las líneas $$ \left\{\begin{array}{rcl}y &=& m\phantom{'} x + b\phantom{'} \\ y &=& m' x + b' \end{array}\right. $$ Tenga en cuenta que cuando se $m = m'$ no son ninguna solución o un número infinito de soluciones---¿qué hacer en estos casos especiales se corresponden con geométricamente?

Answer 2

Las líneas se cruzan al $2x+4 = 3x+5$. Para encontrar donde las líneas se cruzan, resolver por $x$:

$$\begin{align} 2x+4 = 3x+5 &\iff -x = 1\\ &\iff x = -1 \end{align}$$

Ahora, para resolver la coordenada conectando $x = -1$ en cualquiera de las dos ecuaciones:

Decir, el uso de $$y = 2x + 4 \implies y(-1) = 2$$

Para que las líneas se cruzan en el punto de $(-1, 2)$.

Comentario

Otro enfoque es el de resolver simultáneamente el sistema de dos ecuaciones lineales en dos incógnitas restando la segunda ecuación de la primera:

$$\begin{align} y & = 2x+4\\ (-)\quad y &= 3x+5\\ \hline 0 &= -x-1 \end{align}$$

Por lo tanto, $x = -1$. A continuación, utilice cualquiera de la ecuación, como hicimos originalmente, para encontrar el $y$-valor correspondiente a $x = -1$.

Answer 3

Dado que las ecuaciones se reúnen en algún momento así que en ese punto de la $y$ $x$ valores tanto de la línea recta son similares por lo tanto

Usted necesidad justa de equiparar a ambos:

$$2x+4=3x+5 \implies x=-1$$

Esto indica que, en la $\,x=-1\,$ ambos tienen el mismo $x$ $y$ valor usando la segunda ecuación a resolver para $y$ obtenemos $y=3(-1)+5$