Tenga en cuenta que podemos encontrar una función potencial $\phi$ para los que tenemos $\vec F(x,y,z)=\nabla \phi(x,y,z)$. Para encontrar $\phi$, sólo necesitamos integrar los componentes de $\vec F$.
Para continuar, tenemos que comenzar con la $\hat x$-componente a encontrar
$$\begin{align}
\phi(x,y,z)&=\int F_x(x,y,z)\,dx\\\\
&=\int (2xy+4xz)\,dx\\\\
&=x^2y+2x^2z+C_1(y,z) \tag 1
\end{align}$$
donde $C_1(y,z)$ es una integración constante con respecto a $x$, pero puede depender tanto de $y$$z$.
A continuación, use $\phi(x,y,z)$ como se da en $(1)$ encontrar $C_1(y,z)$. Tomando nota de que $\frac{\partial \phi(x,y,z)}{\partial y}=F_y(x,y,z)$ rendimientos
$$x^2+\frac{\partial C_1(y,z)}{\partial y}=x^2+6yz$$
a partir de la cual encontramos a $C_1(y,z)=3y^2z+C_2(z)$ donde $C_2(z)$ es una segunda constante de integración. En este punto, podemos escribir la función potencial como
$$\phi(x,y,z)=x^2y+2x^2z+3y^2z+C_2(z) \tag 2$$
Finalmente, tomar el parcial de $\phi(x,y,z)$, dado por $(2)$, con respecto a $z$, y el establecimiento de la igualdad de a $F_z(x,y,z)$ rendimientos
$$2x^2+3y^2+C_2'(z)=2x^2+3y^2$$
a partir de la cual nos encontramos con que $C_2(z)$ es una constante.
Por lo tanto, podemos escribir la función potencial como
$$\bbox[5px,border:2px solid #C0A000]{\phi(x,y,z)=x^2y+2x^2z+3y^2z+C}$$
para cualquier constante $C$.
Ya hemos determinado que $\vec F(x,y,z)=\nabla \phi(x,y,z)$, $\vec F$ es conservador, y su ruta integral sólo depende de los puntos extremos de la ruta. Podemos escribir
$$\begin{align}
\int_{\vec r_1}^{\vec r_2}\vec F(x,y,z)\cdot \vec d\vec \ell&=\int_{\vec r_1}^{\vec r_2} \nabla \phi(x,y,z)\cdot d\vec \ell\\\\
&=\int_{\vec r_1}^{\vec r_2} d\phi\\\\
&=\phi(1,1,1)-\phi(1,1,1)\\\\
&=0\end{align}$$
