Creo que hay un poco de confusión a su alrededor. El último párrafo sobre el tensor de la caracterización de lema) en realidad no tiene sentido tal y como está. Para un mapa de $T_pM\times\dots \times T^*_pM\to\mathbb R$ ni ser lineal en las funciones lisas ni ser tensorial tiene sentido. Por tanto los conceptos que usted necesita un operador de asignación de secciones a las funciones lisas.
De hecho yo iba a llamar a la equivalencia que usted describe en el párrafo segundo "tensor de la caracterización de lema", ya que por un operador $SM\times\dots\times S^*M\to C^\infty M$ siendo ambos tensorial y ser lineal en $C^\infty M$ realmente tiene sentido. Si $F$ es un operador, entonces para cada punto de $p\in M$, usted puede buscar a $F(\xi_1,\dots,\phi_\ell)(p)$ (para evaluar la función obtenida a partir de los campos vectoriales y formas en el punto de $p$). Ahora usted llame a $F$ "tensorial" si el resultado es cero whenver una sola $\xi$ o una $\phi$ se desvanece en el punto de $p$. De forma equivalente, esto significa que $F(\xi_1,\dots,\phi_\ell)(p)$ sólo depende de los valores de la $\xi$'s y el $\phi$'s $p$. Si este es el caso, entonces la $F$ define un mapa de $T_pM\times\dots \times T^*_pM\to\mathbb R$ en cada punto de $p$, y es fácil ver que estos mapas definir un campo tensorial en el sentido de su primera definición.
De ello se deduce fácilmente a partir de las definiciones que la de un operador tensorial $F$ es lineal en $C^\infty M$ (desde $(f\xi)(p)=f(p)\xi(p)$ y lo mismo para las $\phi$'s). La parte interesante de la prueba es a la inversa de la dirección, que es más fácil de hacer en dos pasos. Suponiendo que $F$ es lineal en las funciones lisas en cada argumento, en primer lugar demostrar que se define un operador local. Esto significa que si $U\subset M$ es abierto y uno de los $\xi$'s o $\phi$'s se desvanece de forma idéntica en $U$, entonces la función de $F(\xi_1,\dots,\phi_\ell)$ se desvanece de forma idéntica en $U$. Para ver esto, supongamos que $\xi_1$ se desvanece en $U$ y tome $p\in U$. Deje $f$ ser un golpe con la función de apoyo que figuran en $U$ tal que $f(p)=1$. A continuación, $f\xi_1$ se desvanece de forma idéntica, por lo $F(f\xi_1,\dots,\phi_\ell)=fF(\xi_1,\dots,\phi_\ell)$ se desvanece de forma idéntica desde $f$ es lineal. Pero la evaluación de este en $p$, consigue $0=f(p)F(\xi_1,\dots,\phi_\ell)(p)=1\cdot F(\xi_1,\dots,\phi_\ell)(p)$.
Sabiendo esto, la conclusión de que para cualquier subconjunto $U\in M$, la restricción de $F(\xi_1,\dots,\phi_\ell)$ $U$sólo depende de las restricciones de la $\xi$'s y $\phi$'s $U$. Pero con un punto de $p$, puede restringir el dominio $U$ de un gráfico que contenga $p$. En $U$, se puede ampliar la $\xi$'s en términos de coordinar los campos vectoriales y el $\phi$'s en términos de las coordenadas de uno de los formularios. Por supuesto, $\xi(p)=0$ si todos los coeficientes en dicha expansión se desvanecen en $p$. Pero, a continuación, usted sólo tiene que insertar en $F$, tire todas las funciones y a la conclusión de que $F(\xi_1,\dots,\phi_\ell)(p)=0$.
