Como se discute en los comentarios, sus tres condiciones implican que el sistema de conjuntos es un plano proyectivo finito. Primero daré una construcción de planos proyectivos de orden primo. La explicación es la siguiente.
Construcción. Dejemos que $p$ sea un primo. El campo finito $\mathbf{F}_p$ es el conjunto $\{0,1,2,\ldots,p-1\}$ con aritmética realizada en módulo $p$ . Sea $v=p^2+p+1$ . El plano proyectivo de orden $p$ tiene $v$ puntos y $v$ líneas. Tanto los puntos como las líneas están codificados por elementos no nulos de $\mathbf{F}_p^3.$ Si dos de estos elementos difieren en una constante multiplicativa, se consideran equivalentes, es decir, representan el mismo punto o línea. Para que cada punto y cada línea tengan una codificación única, exigimos que el elemento más a la derecha distinto de cero de cada triple ordenado sea 1. Por ejemplo, el elemento $(1,2,3)$ de $\mathbf{F}_5^3$ no tiene el elemento más a la derecha distinto de cero igual a $1,$ pero equivale a $2(1,2,3)=(2,4,1)$ que lo hace. De la misma manera, $(0,4,0)$ no tiene el elemento más a la derecha distinto de cero igual a $1,$ pero equivale a $4(0,4,0)=(0,1,0)$ que lo hace. Observe que hay $p^2$ triples con tercer elemento $1$ , $p$ triples con segundo elemento $1$ y el tercer elemento $0$ y un triple con el primer elemento $1$ y el segundo y tercer elemento $0$ . Por lo tanto, hasta la equivalencia, hay $p^2+p+1=v$ triples.
Pensamos en las líneas del plano proyectivo como conjuntos de puntos. La línea codificada por el triple $(a,b,c)$ consiste en los puntos codificados por esas triplas $(x,y,z)$ para lo cual $(a,b,c)\cdot(x,y,z)=0$ en $\mathbf{F}_p.$ Eso es todo lo que hay en la construcción. Como ejemplo, la línea codificada por $(3,1,0)$ en el plano proyectivo de orden $5$ consiste en los seis puntos codificados por $(0,0,1),$ $(1,2,1),$ $(2,4,1),$ $(3,1,1),$ $(4,3,1),$ y $(3,1,0).$
Explicación. Recordemos primero cómo se construye el plano proyectivo sobre el campo de los números reales. Como motivación, consideremos una curva algebraica como la parábola descrita por la ecuación $y-x^2-x+3=0$ . Esto describe un locus de puntos en el $x$ - $y$ plano. Proyectar significa multiplicar por potencias de $z$ según corresponda para que cada término tenga el mismo grado total: $$yz-x^2-xz+3z^2=0.$$ La ecuación original se obtiene estableciendo $z=1$ . Cualquier solución, $(x,y,z),$ a esta nueva ecuación tiene la propiedad de que $(cx,cy,cz)$ también es una solución, para cualquier número real $c$ . Por ello, tiene sentido considerar equivalentes las soluciones que sólo difieren en una constante multiplicativa distinta de cero. Desde este punto de vista, los elementos importantes son las líneas que pasan por el origen en $\mathbf{R}^3$ que tienen la forma $\{c(x,y,z)\mid c\in\mathbf{R}\},$ donde $(x,y,z)\ne(0,0,0).$ Estas líneas que pasan por el origen son los "puntos" del plano proyectivo. Un par de líneas distintas que pasan por el origen determinan un plano que pasa por el origen. Por tanto, los planos que pasan por el origen son las "líneas" del plano proyectivo. Un plano que pasa por el origen puede describirse en términos de una base de vectores linealmente independientes, $\{(x_1,y_1,z_1),(x_2,y_2,z_2)\}$ , como $$\{c(x_1,y_1,z_1)+d(x_2,y_2,z_2)\mid c, d\in\mathbf{R}\},$$ o mediante un vector normal, $(n_1,n_2,n_3)\ne(0,0,0),$ como $$\{(x,y,z)\mid (x,y,z)\cdot(n_1,n_2,n_3)=0\}.$$ Obsérvese que tanto los "puntos" como las "líneas" del plano proyectivo están caracterizados por vectores no nulos en $\mathbf{R}^3$ con vectores que son múltiplos no nulos entre sí identificados. Esto produce un tipo de simetría, llamada dualidad entre "puntos" y "líneas". El "punto" se caracteriza por $(x,y,z)$ se encuentra en - decimos "es incidente en" - la "línea" caracterizada por $(n_1,n_2,n_3)$ cuando $(x,y,z)\cdot(n_1,n_2,n_3)=0.$ A partir de ahora, dejaré las comillas de "punto" y "línea".
Un punto $(x,y)$ en el plano cartesiano habitual - llamado plano afín - que resuelve una ecuación algebraica corresponde al punto $\{c(x,y,1)\mid c\in\mathbf{R}\setminus\{0\}\}$ en el plano proyectivo que resuelve la ecuación proyectivizada. Asimismo, una solución $(x,y,z)$ de la ecuación proyectada, que equivale a $(x/z,y/z,1),$ corresponde a la solución $(x/z,y/z)$ de la ecuación original, siempre que $z\ne0$ . Por tanto, la ecuación proyectada tiene todas las soluciones de la ecuación original. Pero las soluciones con $z=0$ representan soluciones adicionales - soluciones en el infinito. Para la curva algebraica de nuestro ejemplo, hay una solución en el infinito, el punto $\{c(0,1,0)\mid c\in\mathbf{R}\}$ .
El plano proyectivo aumenta el plano afín añadiendo puntos en el infinito . Estos son los puntos de la forma $\{c(x,y,0)\mid c\in\mathbf{R}\}$ con $(x,y)\ne(0,0).$ Hay un punto en el infinito para cada familia de líneas paralelas en la $x$ - $y$ plano. Los puntos en el infinito se encuentran en una línea común, la línea en el infinito caracterizado por el vector normal $(0,0,1)$ .
Una de las razones para considerar la ecuación proyectivizada en lugar de la ecuación original es que el recuento de soluciones comunes a dos curvas algebraicas, como ocurre, por ejemplo, en el teorema de Bézout, resulta más agradable cuando se incluyen los puntos en el infinito. Otra es que los puntos y las líneas del plano proyectivo satisfacen las propiedades
- dos puntos distintos se encuentran en una única línea;
- dos líneas distintas se cruzan en un único punto;
que son más simétricos -¡he aquí otro ejemplo de dualidad! - que las propiedades correspondientes del plano afín:
- dos puntos distintos se encuentran en una única línea;
- dos líneas distintas no paralelas se cruzan en un único punto.
Por ejemplo, las líneas paralelas $x-y+4=0$ y $x-y+6=0$ en el plano afín no tienen intersección, pero las líneas correspondientes $x-y+4z=0$ y $x-y+6z=0$ en el plano proyectivo (que se puede escribir $(x,y,z)\cdot(1,-1,4)=0$ y $(x,y,z)\cdot(1,-1,6)=0$ ) se cruzan en el punto en el infinito $\{c(1,1,0)\mid c\in\mathbf{R}\}.$
Para establecer el plano proyectivo real sólo se utilizaron las operaciones aritméticas habituales de suma, resta, multiplicación y división. Esto significa que nada en la construcción cambia si cambiamos a otro campo, como los números racionales o los números complejos.
Ahora hay campos con sólo un número finito de elementos. El más simple de ellos campos finitos se obtienen cuando se realiza la aritmética en módulo de un primo fijo $p.$ Por ejemplo, módulo 5, tenemos $3+4=7=2$ , $3-4=-1=4$ y $3\times4=12=2.$ Además, todo elemento no nulo tiene un inverso multipicativo: $1\times1=1$ , $2\times3=6=1$ , $3\times2=6=1$ , $4\times4=16=1$ . Esto implica que se puede realizar la división: $3/2=3\times3=9=4.$ (Comprueba: $2\times4=8=3.$ )
Si realizamos la construcción sobre uno de estos campos finitos, obtenemos un plano proyectivo con sólo un número finito de puntos y líneas. Hay un campo finito de cada orden de potencia primo. Para potencias mayores que 1, se necesitan algunas ideas adicionales para construir el campo finito. Pero una vez que se ha construido el campo finito, la construcción del plano proyectivo sobre ese campo es exactamente igual a la descrita anteriormente.
Tenga en cuenta que el $r$ en su pregunta corresponde a $p+1$ en la construcción descrita anteriormente. Ya se ha explicado por qué hay $v=p^2+p+1=r^2-r+1$ puntos y líneas. Para ver por qué cada línea contiene $p+1=r$ puntos, recuerda que una línea es un conjunto $$\{c(x_1,y_1,z_1)+d(x_2,y_2,z_2)\mid c, d\in\mathbf{F}_p\},$$ donde $(x_1,y_1,z_1)$ y $(x_2,y_2,z_2)$ son linealmente independientes. Los puntos de la recta son subespacios unidimensionales que se obtienen fijando $c$ y $d,$ no ambos cero. Hay $p^2-1$ opciones de la pareja $(c,d)$ pero los múltiplos escalares no nulos de $(c,d),$ de los cuales hay $p-1,$ describen el mismo punto. Por lo tanto, hay $(p^2-1)/(p-1)=p+1$ puntos en cada línea. Para ver que dos rectas se cruzan en un único punto, observe que la intersección de las rectas caracterizadas por vectores normales linealmente independientes $(n_1,n_2,n_3)$ y $(m_1,m_2,m_3)$ es el conjunto de soluciones de la ecuación $$\begin{bmatrix}n_1 & n_2 & n_3\\ m_1 & m_2 & m_3\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x\\ y\\ z\\\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0\\ 0\\ 0\\\end{bmatrix}.$$ El conjunto de soluciones es un subespacio unidimensional de $\mathbf{F}_p^3,$ es decir, un punto.
(Añadido posteriormente) Para explicitar que el conjunto de puntos que yacen en una recta dada puede obtenerse mediante álgebra lineal ordinaria, veamos cómo los seis puntos que yacen en la recta codificada por $(3,1,0)$ se produjeron en nuestro ejemplo. La condición $(3,1,0)\cdot(x,y,z)=0$ implica $3x=-y,$ o $x=-2y=3y$ con $y$ y $z$ arbitraria. Por lo tanto, una base para el conjunto de soluciones es $a=(3,1,0),$ $b=(0,0,1)$ . Para satisfacer nuestro requisito de que el elemento más a la derecha distinto de cero sea $1,$ los cefficientes $\alpha,$ $\beta$ en la solución general $\alpha a+\beta b$ debe elegirse de una de estas dos maneras:
- $\beta=1,$ $\alpha$ arbitraria, dando las cinco soluciones $(0,0,1),$ $(1,2,1),$ $(2,4,1),$ $(3,1,1),$ $(4,3,1),$
- $\beta=0,$ $\alpha=1,$ dando la solución $(3,1,0)$ .
Este patrón es general: los dos vectores base para el conjunto de puntos que se encuentran en una línea dada pueden escribirse de manera que sus elementos más a la derecha sean iguales a $1$ y corresponden a diferentes parámetros arbitrarios. Sea $a$ es el vector base cuyo elemento más a la derecha se encuentra más a la izquierda, y $b$ el vector base cuyo elemento más a la derecha se encuentra más a la derecha. Entonces hay $p$ puntos de la forma $\alpha a+b$ y un punto $a,$ para un total de $p+1$ puntos. (Fin añadido posteriormente)
Existen planos proyectivos finitos que no se obtienen por la construcción anterior. Tales planos se llaman no désarguesiano . Los planos más pequeños que no son de Dessargues son de orden 9. Si existiera un plano de orden no-prima-potencia, tendría que ser no-Desarguesiano, pero hasta ahora no se ha construido tal plano. El orden mínimo en el que podría existir tal plano es 12. No se conoce ningún plano no hesarguesiano de orden primo, pero no hay pruebas de que no pueda existir.
