¿Caso límite de Binomial(n,p)/n?

Question

Sea la variable aleatoria $X$ tienen distribución $X \sim \text{Binomial}(n,p)$ . Sea $Y = X/n$ . ¿Cuál es la distribución límite de $Y$ como $n \to \infty$ ? ¿Tiene una distribución sencilla?

Por supuesto, cuando $n$ es grande, $X$ tiene aproximadamente la distribución $\text{Poisson}(np)$ . Así, podríamos plantear la pregunta de la siguiente manera alternativa: supongamos que $X^* \sim \text{Poisson}(np)$ y defina $Y^* = X^*/n$ ¿cuál es la distribución límite de $Y^*$ como $n \to \infty$ ?

No he sido capaz de encontrar un resultado existente sobre esto, aunque suena como el tipo de cosa que alguien debe haber estudiado hace mucho tiempo. Cuando busco distribución límite y Poisson o distribución límite y Binomial, encuentro muchas referencias al hecho de que $\text{Binomial}(n,p) \to \text{Poisson}(np)$ como $n \to \infty$ que ya conocía, así que no sé dónde buscar para averiguarlo.

Answer 1

Sugerencia: Cambie el nombre de la variable aleatoria $X$ como $X_n$ y la variable aleatoria $Y^*$ como $Y_n$ y obsérvese que se puede suponer sin pérdida de generalidad que cada $X_n$ es $X_n=\sum\limits_{k=1}^nZ_k$ donde la secuencia $(Z_k)_{k\in\mathbb N}$ es i.i.d. Bernoulli con parámetro $p$ .

Entonces $Y_n=\frac1n\sum\limits_{k=1}^nZ_k$ de ahí el ley de los grandes números se aplica, lo que te dice que...

Answer 2

Una aproximación estándar para la distribución binomial dice que $X$ tiene aproximadamente una distribución gaussiana, es decir, $X \sim \mathcal{N}(pn,p(1-p)n)$ . De ello se deduce que $Y$ también tiene aproximadamente una distribución gaussiana, es decir, $Y \sim \mathcal{N}(p,p(1-p)/n)$ . Esta aproximación es cada vez mejor a medida que $n \to \infty$ . El límite como $n \to \infty$ es un delta de Dirac en $p$ .