Suma de productos de números de Fibonacci y valores de combinación.

Question

Soy profesor de secundaria y los alumnos tenían que ver el patrón que tengo a continuación, pero no tenían que probarlo. Sin embargo, un intrépido alumno me pidió que lo probara y estoy perplejo. He buscado en internet pero no he encontrado ninguna ayuda. ¡Por favor, ayúdenme a empezar! La identidad es la siguiente. F ₀ \=0, F ₁ \=1, F ₂ \=1, F ₃ \=2, ..., F _n \=enésimo número de Fibonacci.

( _n C ₀ )(F _k )+( _n C ₁ )(F _k+1 )+( _n C ₂ )(F _k+2 )+...+( _n C _n )(F _k+n ) = F _k+2n

Answer 1

Si $M$ es la matriz $\pmatrix{1 & 1\cr 1 & 0\cr}$ tenemos $M^n = \pmatrix{F_{n+1} & F_n\cr F_n & F_{n-1}}$ (conocido y fácil de demostrar por inducción). Entonces, utilizando el teorema del binomio y el hecho de que $M+I = M^2$ , $$ \sum_{j=0}^n {}_nC_j M^{k+j} = M^k (M+I)^n = M^{k+2n}$$ y su identidad se sigue tomando los elementos de la matriz.

De forma más prosaica, se puede demostrar su identidad por inducción, utilizando el hecho de que ${}_{n+1}C_j = {}_nC_{j-1} + {}_nC_{j}$ .

Answer 2

Recall La fórmula de Binet para los números de Fibonacci:

$$F_n = \frac{\alpha^n - \beta^n}{\sqrt{5}} \quad\text{ where }\quad \alpha = \frac{1+\sqrt{5}}{2}, \beta = \frac{1-\sqrt{5}}{2} $$ Utilizando Teorema del binomio y aviso $\alpha, \beta$ son raíces de la ecuación $\lambda^2 = \lambda + 1$ tenemos $$\begin{align} \sum_{s=0}^n \binom{n}{s}F_{k+s} &= \frac{1}{\sqrt{5}}\left[\alpha^k\left(\sum_{s=0}^n \binom{n}{s} \alpha^s\right) - \beta^k\left(\sum_{s=0}^n \binom{n}{s} \beta^s\right)\right]\\ &= \frac{1}{\sqrt{5}}\left[\alpha^k(\alpha+1)^n - \beta^k(\beta+1)^n\right]\\ &= \frac{1}{\sqrt{5}}\left[\alpha^{k+2n} - \beta^{k+2n}\right]\\ &= F_{k+2n} \end{align} $$

Answer 3

Sugerencia : Utilice los dos famosos recursivo relaciones $~F_{i+1}~=~F_i~+~F_{i-1}~$ y

$C_{n+1}^{k+1}~=~C_n^k~+~C_n^{k+1}~$ con el fin de establecer en última instancia una prueba por inducción :

$$\begin{align} F_m ~&=~F_{m-1}~+~F_{m-2} ~&=~C_1^0~F_{m-1}~+~C_1^1~F_{m-2} \qquad\qquad\quad~ \\\\ ~&=~\Big(F_{m-2}~+~F_{m-3}\Big)~+~\Big(F_{m-3}~+~F_{m-4}\Big) ~&=~C_2^0~F_{m-2}~+~C_2^1~F_{m-3}~+~C_2^2~F_{m-4} \\\\ ~&=~\ldots ~&=~\ldots \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\quad \end{align}$$

¿Puedes llevarlo desde aquí?...