¿Incluye el momento angular total del sistema Tierra-Luna los momentos angulares de rotación individuales?

Question

Para calcular el momento angular de un cuerpo necesitamos especificar un punto (¿o un eje?) a partir del cual definir el vector desplazamiento $\vec{r}$ de modo que $\vec{L} = \vec{r} \times \vec{p}$ .

Para un cuerpo rígido, la fórmula es $\vec{L}=I\vec{\omega}$ suponiendo que el momento de inercia no sea un tensor. Así que en este caso tenemos que especificar un eje.

AHORA: ¿y si quisiera calcular el total momento angular del sistema Tierra-Luna? ¿Cuál es el punto/eje más sensato a elegir?

Yo diría, intuitivamente, el centro de masa del sistema.

Sobre el CdM,

$$\begin{align}\vec{L}_\text{tot} &= \vec{L}\text{ of the Earth due to its orbit about centre of mass} \\ &+ \vec{L}\text{ of Moon due to its orbit about centre of mass} \\ &+ \text{angular momenta due to rotations of Earth and Moon around their own axes}?\end{align}$$

No estoy seguro de si incluir las rotaciones de la Luna y la Tierra alrededor de sus ejes y cómo hacerlo: Sé que tienen que entrar de alguna manera por el efecto de fricción de marea en la órbita de la Luna, pero no sé cómo conciliar esto con el hecho de que aquí elegí el centro de masa como punto de referencia, y ninguno de los ejes de rotación tiene nada que ver con el centro de masa del sistema Tierra-Luna.

Answer 1

Consideremos dos cuerpos A y B. Con respecto a un sistema de coordenadas inerciales con origen en el punto O, las coordenadas de las partículas en A son vectores $x_{a}\in V_{3}$ con $a=1,2,\ldots, N_{A}$ y análogamente las coordenadas de las partículas de B son $x_{b}\in V_{3}$ con $b=1,2,\ldots,N_{B}$ . Los momentos respecto al sistema de inercia con origen en el punto O de las partículas de A son $p_{a}\in V_{3}$ y los momentos de las partículas de B son $p_{b}\in V_{3}$ . El momento angular total del sistema respecto al punto O es, $$ J=\sum_{a}x_{a}\times p_{a}+\sum_{b}x_{b}\times p_{b} \ . $$ Introduzcamos el centro de masa del cuerpo A como $X_{A}\in V_{3}$ , $$ X_{A}=\frac{\sum_{a}m_{a}x_{a}}{\sum_{a}m_{a}}=\frac{\sum_{a}m_{a}x_{a}}{M_{A}} $$ y el centro de masa del cuerpo B como, $$ X_{B}=\frac{\sum_{b}m_{b}x_{b}}{\sum_{b}m_{b}}=\frac{\sum_{b}m_{b}x_{b}}{M_{B}} $$ Suma y resta de las coordenadas del centro de masa, $$ J=\sum_{a}(x_{a}-X_{A})\times p_{a}+\sum_{b}(x_{b}-X_{B})\times p_{b}+X_{A}\times \sum_{a}p_{a}+X_{B}\times \sum_{b}p_{b} \ . $$ Los dos primeros términos del lado derecho son los momentos angulares de los cuerpos en torno a sus respectivos centros de masas $X_{A}$ y $X_{B}$ . Escribamos estas contribuciones como $J_{A}\in V_{3}$ y $J_{B}\in V_{3}$ . El momento angular total es ahora, $$ J=J_{A}+J_{B}+X_{A}\times \sum_{a}p_{a}+X_{B}\times \sum_{b}p_{b} \ . $$ Sea el momento lineal de las partículas del cuerpo A, $$ P_{A}=\sum_{a}p_{a} $$ con una fórmula similar para la suma de los momentos de las partículas del cuerpo B. Introduce estas fórmulas en la ecuación del momento angular total, $$ J=J_{A}+J_{B}+X_{A}\times P_{A}+X_{B}\times P_{B} \ . $$ Esta es precisamente la división del momento angular total que Harold escribió en su pregunta. $J_{A}$ y $J_{B}$ son los momentos angulares de A y B alrededor de sus propios centros de masa. $X_{A}\times P_{A}$ es el momento angular orbital de A alrededor del origen O de las coordenadas inerciales y $X_{B}\times P_{B}$ es el momento angular orbital de B alrededor de O. El punto O podría tomarse como el centro de masa del sistema completo, pero no importa para el resultado anterior.