Los autovalores de la Suma de una Positiva Definida Matriz Diagonal y un Rango de $2$ Sesgar Matriz Simétrica

Question

Considere la posibilidad de una $N \times N$ matriz $A=B_1+B_2$ donde $B_1$ es una matriz diagonal con todos las entradas de la diagonal entre el $0$ $1$ $B_2$ es un sesgo simétrica matriz, la cual puede ser escrito como

$$B_2= \begin{bmatrix} 0_{N-1} & f \\ -f^T & 0 \end{bmatrix}$$

donde $0_{N-1}$ $N-1 \times N-1$ cero de la matriz, $f$ $N-1$ $1$ vector. Por lo $B_2=-B_2^T$.

Mi pregunta es ¿cuántos complejo de autovalores (no-cero de la parte imaginaria) $A$ tiene?

He corrido algunas simulaciones numéricas. Parece que $A$, pueden tener un par de autovalores complejos. Y es plausible para mí, porque la inclinación simétrica $B_2$ es sólo el rango de $2$.

Cómo podemos probar este matemáticamente o con un contador de ejemplo? Si es necesario, podemos poner un límite superior en $|f|_2$. Pero no sé si es necesario, como se indica desde mi simulaciones.

Answer 1

Sólo necesitamos $B_1$ a ser diagonal. Positiva la certeza no es necesario. Deje $A=\pmatrix{D&f\\ -f^T&a}$. Si algunas entradas de $f$ es cero, podemos reducir el problema al caso con una de menor tamaño se $A$. Suponga $f$ es entrywise distinto de cero. Como Friedrich Philipp sugiere en su comentario, podemos hacer uso de Schur de complemento: $$\begin{align} \det(tI-A)&=\det(tI-D)\left(t-a+f^T(tI-D)^{-1}f)\right)\\ &=\det(tI-D)\left(t-a+\sum_{j=1}^{n-1} \frac{f_j^2}{t-d_j}\right). \end{align}$$ Por lo tanto, es suficiente para mostrar que el $g(t)=t-a+\sum_{j=1}^{n-1} \frac{f_j^2}{t-d_j}$ tiene al menos $n-2$ bienes raíces.

Por permutación, podemos asumir que la diagonal entradas están organizados estrictamente en orden ascendente. Desde $g(d_j^-)=-\infty$$g(d_j^+)=+\infty$, si los elementos de la diagonal de a $D$ son distintos, $g$ cambia de signo en cada intervalo de $(d_j,d_{j+1})$. En consecuencia, $g$ cambia de signo, al menos, $n-2$ veces $\mathbb R\setminus\{d_1,d_2,\ldots,d_{n-1}\}$ $A$ tiene al menos $n-2$ (distinta) real de los autovalores. Por la continuidad de los autovalores de la matriz de entradas, $A$ también tiene menos de $n-2$ real de los autovalores cuando algunos elementos de la diagonal de a $D$ son los mismos.