Encontrar $\lim\limits_{x\to \infty} \frac{x\sin x}{1+x^2}$

Question

$$\lim_{x\to \infty} \frac{x\sin x}{1+x^2}$$

El uso de L'hôpital que obtengo:

$$\lim_{x\to \infty} \frac{x\cos x + \sin x}{2x}=\lim_{x \to \infty}\frac{\cos x}{2}$$

Sin embargo, ¿cómo es posible evaluar este límite?

Answer 1

Usted tiene $$\left\vert \frac{x \sin x}{1+x^2}\right\vert \le \frac{\vert x \vert}{1+x^2}$$ for all $x \in \mathbb{R}$.

Answer 2

Trate de evaluar $$\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{x}{1+x^2}\sin(x)$$ teniendo en cuenta que $\sin$ es un almacén de función..

Answer 3

De l'Hospital de la Regla no se aplica aquí, ya $\lim_{x\to\infty}x\sin x$ es indefinido, no $\infty$ o $-\infty$. De hecho, oscila con más y más grandes "olas" como $x \to \infty$, y así, en cierto sentido, tiende a ambos $\infty$ $-\infty$ al mismo tiempo. Así que el limitand no es una forma indeterminada, como $x \to \infty$.

En lugar de ello, he aquí una sugerencia: ¿cuáles son los valores de los límites de $\lim_{x\to\infty}\frac{\pm x}{x^2+1}$? Se puede relacionar este a su límite original?

Answer 4

Usted no se puede aplicar la regla de L'Hospital de aquí: supone el numerador y el denominador de ambos tienden a $0$ o a $\infty$.

Por desgracia, el numerador no tiene límite como $x\to\infty$.

Este es un buen ejemplo de que L'Hospital de la regla es peligroso. Aunque para algunos, parece ser el alfa y el omega de los límites de la computación, cuando funciona, es lógicamente equivalente a usar fórmula de Taylor en el orden de las $1$, y muy a menudo, de forma asintótica de cálculo con una función equivalente es mucho más rápida:

$$x\sin x =O(x), \enspace 1+x^2\sim_\infty x^2,\enspace\text{hence}\quad \frac{x\sin x}{1+x^2}=\frac1{x^2}O(x)=O\Bigl(\frac1x\Bigr)\to 0.$$

Answer 5

Algunas respuestas están diciendo L'Hôpital no es aplicable en este caso debido a que el numerador no $\to \pm \infty.$ L Hôpital es válido si sólo asumimos el denominador $\to \pm \infty:$ Si $f,g$ son diferenciables en a $(a,\infty), \lim_{x\to \infty} g(x) = \pm \infty,$ $\lim_{x\to\infty} \frac{f'(x)}{g'(x)} = L,$ $\lim_{x\to\infty} \frac{f(x)}{g(x)} = L.$

Por alguna razón, este "mejor" L'Hôpital no es tan bien conocido como el habitual de L'Hospital. Debe ser, porque la prueba es tan fácil como el habitual, y el resultado es similar a su primo, el Stolz-Cesaro teorema de la convergencia de una secuencia. (Recordemos que en SC, sólo el denominador de la secuencia es la que asume el $\to \pm \infty.$)