Valor absoluto de movimiento Browniano

Question

Necesito mostrar que $$R_t=\frac{1}{|B_t|}$$ is bounded in $\mathcal{L^2}$ for $(t \ge 1)$, where $B_t$ es un 3-dimensionales estándar de movimiento Browniano.

Estoy tratando de encontrar un enlace para $\mathbb{E}[\int_{t=1}^{\infty}R^2_t]$.

Asintóticamente $B_t^i$ entre $\sqrt{t}$$t$. También sé que $|B_t| \to \infty$, pero la tasa no es clara.

Sugerencias podrían ser de utilidad.

Answer 1

Desde $B_t$ $\sqrt{t}B_1$ son idénticamente distribuidas, $\mathrm E(R_t^2)=t^{-1}\mathrm E(R_1^2)$, por lo tanto $\mathrm E(R_t^2)\leqslant\mathrm E(R_1^2)$ por cada $t\geqslant1$ y queda por demostrar que $\mathrm E(R_1^2)$ es finito. Ahora, la densidad de la distribución de $B_1$ es proporcional a $\mathrm e^{-\|x\|^2/2}$ $B_1$ tiene dimensión $3$ por lo tanto la densidad de la distribución de $Y=\|B_1\|$ es proporcional a $\varphi(y)=y^{3-1}\mathrm e^{-y^2/2}=y^2\mathrm e^{-y^2/2}$$y\gt0$. Ya que la función $y\mapsto y^{-2}\varphi(y)=\mathrm e^{-y^2/2}$ es Lebesgue integrable, la variable aleatoria $Y^{-2}=R_1^2$ es integrable.

Por otro lado, $\mathrm E\left(\int\limits_1^{+\infty}R_t^2\mathrm dt\right)$ es infinito.

Modificar La distribución de $B_1$ los rendimientos de la distribución de $Y=\|B_1\|$ por el habitual cambio de las variables de la técnica. Para ver esto, observe que en la dimensión $n$, y para cada una de las pruebas de función $u$, $$ \mathrm E(u(Y))\propto\int_{\mathbb R^n} u(\|x\|)\mathrm e^{-\|x\|^2/2}\mathrm dx\propto\int_0^{+\infty}\int_{S^{n-1}}u(y)\mathrm e^{-y^2/2}y^{n-1}\mathrm d\sigma_{n-1}(\theta)\mathrm dy, $$ donde $\sigma_{n-1}$ denota la distribución uniforme en el ámbito de la unidad de $S^{n-1}$ $(y,\theta)\mapsto y^{n-1}$ es proporcional a la Jacobiana de la transformación de $x\mapsto(y,\theta)$$\mathbb R^n\setminus\{0\}$$\mathbb R_+^*\times S^{n-1}$. Por lo tanto, $$ \mathrm E(u(Y))\propto\int_0^{+\infty}u(y)y^{n-1}\mathrm e^{-y^2/2}\mathrm dy, $$ con lo que se demuestra por la identificación que la distribución de $Y$ tiene una densidad proporcional a $y^{n-1}\mathrm e^{-y^2/2}$$y\gt0$.