Tres independiente, no negativo (continua) variables aleatorias $v_1$, $v_2$ y $v_3$ con archivos Pdf $f_{v_1}$, $f_{v_2}$ y $f_{v_3}$ respectivamente, quiero calcular la probabilidad de que la satisfacción de un sistema de desigualdades lineales.
Por ejemplo, żcuál es la probabilidad de $\mathbb{P}(v_1 \leq q_1 \land [ v_1 + v_3 \leq q_2 \lor v_2 + v_4 \leq q_2])$ de satisfacción de $v_1 \leq q_1 \;\textbf{and}\; [ v_1 + v_3 \leq q_2 \;\textbf{or}\; v_2 + v_3 \leq q_2 ]$ donde $q_i \in \mathbb{Q}$ son racionales constantes. (Lo siento por mi abuso de notación!)
Fácilmente se puede calcular la probabilidad de cada una de las tres desigualdades (utilizando circunvoluciones) por $\mathbb{P}(v_1 \leq q_1) = \int_{-\infty}^{q_1} f_{v_1}(t)\; dt$,
$\mathbb{P}(v_1 + v_3 \leq q_2) = \int_{-\infty}^{q_2} f_{v_1}(t) (\int_{-\infty}^{q_2 - t} f_{v_3}(u)\; du)\; dt$, y
$\mathbb{P}(v_2 + v_3 \leq q_2) = \int_{-\infty}^{q_2} f_{v_2}(t) ( \int_{-\infty}^{q_2 - t} f_{v_2}(u)\; du)\; dt$
Deje $A$ ser el caso de que $v_1 + v_3 \leq q_2$ $B$ el caso de que $v_2 + v_3 \leq q_2$.
La suma de la regla nos dice que $\mathbb{P}(A \cup B) = \mathbb{P}(A) + \mathbb{P}(B) - \mathbb{P}(A \cap B)$, y sabemos que $\mathbb{P}(A \cap B) = \mathbb{P}(A|B) \mathbb{P}(B) = \mathbb{P}(B | A) \mathbb{P}(A)$.
Es posible calcular las probabilidades condicionales $\mathbb{P}(A|B)$ $\mathbb{P}(B|A)$ a sabiendas de que sólo las distribuciones marginales para $v_1$, $v_2$ y $v_3$?
