Hay un campo de extensión sobre los números reales que no es el mismo que el campo de los números complejos?

Question

Estoy tratando de determinar si hay un campo F, tal que $\mathbb{R}$ $\subsetneq$ F $\subsetneq$ $\mathbb{C}$ donde F no es lo mismo que $\mathbb{R}$ o $\mathbb{C}$.

Answer 1

No la hay. La extensión de $[\mathbb C : \mathbb R]$ tiene grado 2, por lo que no puede ser un adecuado intermedio de extensión.

Asumir dicha prórroga $F$ existe. Entonces por el teorema de la torre, tenemos $[\mathbb C:F][F:\mathbb R]=2$. Para que sea una extensión adecuada, cada factor debe ser mayor que uno. Esta es una contradicción.

Answer 2

Supongamos $F$ es un campo que $\mathbb{R} \subsetneq F \subseteq \mathbb{C}.$ $F$ contiene al menos un elemento de a $a+bi$ donde $b\neq 0.$ Desde $F$ contiene todos los reales, contiene $b^{-1}$$-a,$, por lo que contiene $b^{-1}\left((a+bi)-a\right)=i.$ por lo tanto contiene todos los números complejos y el $F=\mathbb{C}.$