Arreglos de Coxeter y una identidad

Question

Dejemos que $\{A_i\}$ sea una colección de $m$ hiperplanos en $\mathbb{C}^n$ que pasan por el origen (a disposición del hiperplano central ). Esta disposición se denomina Coxeter si se refleja a través de cualquier hiperplano en $\{A_i\}$ envía el arreglo a sí mismo (y así las reflexiones generarán automáticamente un grupo Coxeter).

Ahora, voy a definir una condición bastante aleatoria sobre una disposición central arbitraria. Elija un vector normal $n_i$ a cada $A_i$ . Consideremos la función sobre $\gamma$ en $\mathbb{C}^n$ dado por $$ \gamma(v) = \sum_{1\leq i< j\leq m}(n_i,n_j)\left(\prod_{k\neq i,j} (n_k,v) \right) $$ La función $\gamma$ depende de la elección específica de los vectores normales; sin embargo, si $\gamma$ desaparece no depende de la elección de los vectores normales (ya que al escalar un vector normal se escalará la salida). Llamamos a un arreglo de hiperplano central desconcertante si $\gamma(v)=0$ para todos $v$ .

La condición de "desconcertante" surgió al estudiar un problema de investigación muy específico. Sin embargo, tanto el contexto como un día de experimentación han llevado a la siguiente conjetura.

Conjetura: Los arreglos desconcertantes son exactamente los arreglos Coxeter.

Vale la pena señalar que no puedo demostrar ninguna de las dos direcciones de la conjetura. El cálculo de fuerza bruta dice que para $n=2$ la conjetura es cierta.

Sólo por la forma, me recuerda a una identidad de tipo fórmula de caracteres de Weyl, pero realmente no sé mucho sobre ellos. Espero que este tipo de identidad sea bastante conocido por la gente que trabaja con esas cosas.

---

Editar: Hay otra forma de enunciar esta identidad, que se acerca más al contexto en el que la encontré (operadores diferenciales). Sea $n_i^*$ denota la función $(n_i,-)$ y que $d_i$ denotan la diferenciación a lo largo del vector $n_i$ . Entonces

$$ \gamma = \left( \sum_i (n_i^*)^{-2}(n_i^*d_i-(n_i,n_i))\right) \prod_j n_j $$

Por lo tanto, la condición "desconcertante" es entonces una afirmación sobre la función $\prod_jn_j$ siendo asesinada por un operador diferencial racional particular.

---

Editar 2: Corregida la definición de arreglos Coxeter... Quiero todas las reflexiones, no sólo un conjunto generador.

Answer 1

Prueba de que los arreglos de Coxeter obedecen a esta identidad: Agrupar los sumandos según el biplano abarcado por $n_i$ y $n_j$ . Para cualquier plano de dos $H$ cada sumando procedente de ese biplano es divisible por $\prod_{n_k \not \in H} \langle n_k, v \rangle$ . Si se elimina este sumando común, la contribución de $H$ es $$\sum_{n_i \neq n_j,\ n_i, n_j \in H} \langle n_i, n_j \rangle \prod_{n_k \in H,\ n_k \neq n_i, n_j} \langle n_k, v \rangle.$$

Este es el ejemplo bidimensional que ya has hecho.

Prueba que sólo los arreglos de Coxeter obedecen esta identidad: Considere $H$ , un plano de dos que se extiende por unos $(n_i, n_j)$ . Nuestro primer objetivo es demostrar que $H \cap \{ n_k \}$ es un sistema de raíces diédrico.

Dejemos que $r$ sea el número de hiperplanos en su arreglo. Sea $S$ sea el anillo de funciones polinómicas y sea $I$ sea el ideal generado por las funciones $\langle n, \ \rangle$ , para $n \in H$ . Tenga en cuenta que cada término de su suma que no provenga de $(n_i, n_j)$ con $n_i$ , $n_j \in H$ se encuentra en $I^{r-1}$ . Así, la suma de los términos con $n_i$ , $n_j \in H$ debe ser cero módulo $I^{r-1}$ .

Como antes, todos esos términos son divisibles por $\prod_{n_k \not \in H} \langle n_k, v \rangle$ . Esto no es un divisor cero en $S/I^{r-1}$ . Así que podemos factorizarlo y deducir que $$\sum_{n_i \neq n_j,\ n_i, n_j \in H} \langle n_i, n_j \rangle \prod_{n_k \in H,\ n_k \neq n_i, n_j} \langle n_k, v \rangle \equiv 0 \ \mathrm{mod} \ I^{r-1}$$ Pero el lado izquierdo es el grado $r-2$ por lo que debe ser idénticamente cero. Por el ejemplo bidimensional que ya has hecho, esto demuestra que $\{ n_k: n_k \in H \}$ es un sistema de raíces.

Así, para cualquier $n_i$ y $n_j$ el conjunto de $n_k$ en el lapso de $(n_i, n_j)$ es un sistema de raíces. En particular, el reflejo de $n_i$ por $n_j$ es algo $n_k$ . Así que todo su conjunto de vectores es un sistema de raíces.

Advertencia: Yo mismo no he comprobado el caso bidimensional en el que me baso.