Lineal mapas (complejo)

Question

$(1)$ Deje $a, b\in \mathbb C$ $\alpha: \mathbb C^2 \to \mathbb C$ ser dado por $(x, y)\mapsto ax + by.$

$\quad(a)\quad$ Muestran que $\alpha$ $\mathbb C$ - lineal mapa. ¿En qué estado(s) que usted tiene que comprobar?

$\quad(b)\quad$ Por lo que los valores de $a$ $b$ $\alpha$ surjective? Justifique su respuesta.

$\quad (c)\quad$ Encontrar una base para $\operatorname{ker}\alpha$. Justifique su respuesta. La respuesta dependerá de a$a$$b$.

Alguien me puede ayudar? Creo que tengo el 1. a) pero realmente no se lineales mapas.

Answer 1

Sugerencia:

Para cualquier espacio lineal $\;V_{\Bbb F}\;$ sobre un campo, tenemos que un funcional lineal $\;f:V\to\Bbb F\;$ es el cero de la función o automáticamente surjective, debido a las dimensiones teorema:

$$\dim_{\Bbb F} V=\dim\ker f+\dim\text{Im}\,f$$

y teniendo en cuenta que el $\;0\le\dim\text{Im}\,f\le 1\;$ ...

En su caso, $\;V=\Bbb C^2_{\Bbb C}\;\;,\;\;\Bbb F=\Bbb C\;$ y etc.