Deje $\mathbb H$ ser arbitraria espacio de Hilbert separable. La covarianza operador $C:\mathbb H\to\mathbb H$ entre los dos $\mathbb H$con valores de cero significa que elementos aleatorios $X$ $Y$ $\operatorname E\|X\|^2<\infty$ $\operatorname E\|Y\|^2<\infty$ está definido por $$ C(h)=\operatorname E[\langle X,h\rangle Y] $$ para cada una de las $h\in\mathbb H$. ¿Por qué es la covarianza operador definido de esta manera?
Parece que se puede llegar a esta definición, si tratamos de generalizar la definición de la matriz de covarianza. Supongamos por el momento que $\mathbb H=\mathbb R^n$. A continuación, la matriz de covarianza es dado por $\operatorname E[XY^T]$ que es un delimitada lineal operador de$\mathbb R^n$$\mathbb R^n$. También, tenemos que $$ \operatorname E[YX^T](h) =\operatorname E[YX^Th] =\operatorname E[Y\langle X,h\rangle] =\operatorname E[\langle X,h\rangle Y] $$ para cada una de las $h\in\mathbb R^n$. En el extremo derecho de expresión sólo depende del producto interior $\langle\cdot,\cdot\rangle$ y tal vez podemos decir que esta es la definición de la covarianza de operador para la arbitraria $\mathbb H$. Es este el derecho a la intuición detrás de la definición de la covarianza operador?
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