Si $|f|$ es constante, también lo es $f$ para $f$ analítica en un dominio $D$ .

Question

Estoy leyendo un desarrollo del principio de máxima modulación, pero estoy atascado verificando una observación:

$$\text{"it is enough to show that $ |f| $ is constant, from which we may conclude that $ f $ is.''}$$

Así que estoy tratando de demostrarlo como un lema:

Dejemos que $f$ sea analítico en un dominio $D$ . Si $|f|$ es constante, entonces también lo es $f$ .

Intenté utilizar el hecho de que $|f|$ constante implica $|f|$ es analítica.

A partir de aquí esto significa que $Re(|f(x,y)|)$ es armónico.

Escribí la consecuencia de esto usando la Ecuación de Laplace, esperando forzar las derivadas parciales de $f$ para desaparecer, pero no parecía ir a ninguna parte.

¿Alguna sugerencia?

Answer 1

Dejemos que $f=u+iv$ sea analítico en algún dominio $D$ . Supongamos que el módulo es constante, por lo que $u^2+v^2$ es constante. De ello se desprende que $$ u\frac{\partial u}{\partial x}+v\frac{\partial v}{\partial x}=0 $$ y $$ u\frac{\partial u}{\partial y}+v\frac{\partial v}{\partial y}=-u\frac{\partial v}{\partial x}+v\frac{\partial u}{\partial x}=0. $$ Esto implica que $\dfrac{\partial u}{\partial x}=0=\dfrac{\partial v}{\partial x}$ guardar cuando $u^2+v^2$ desaparece. Esto se deduce considerando la ecuación matricial $$ \left(\begin{array}{cc} u & v\\ v & -u\end{array}\right)\left(\begin{array}{c} \frac{\partial u}{\partial x}\\ \frac{\partial v}{\partial x}\end{array}\right)=0 $$ Sin embargo, si $u^2+v^2=0$ en algún momento, entonces es constantemente $0$ en cuyo caso $f(z)$ desaparece de forma idéntica.

Answer 2

Esto puede demostrarse mediante el principio de máxima.