Demostrar que $\mathbb{R}^2$ no puede ser un subconjunto de la unión de un contable de la colección de líneas en $\mathbb{R}^2$

Question

No estoy muy seguro acerca de esto. Creo que la prueba se basa en el teorema: Si $U$ es un subconjunto de a $A$, e $U$ es incontable, a continuación, $A$ es incontable.

El enunciado del problema dice que una colección de líneas contables. $\mathbb{R}^2$ no es contable, por lo $\mathbb{R}^2$ no puede ser un subconjunto de un contable de la colección de líneas en $\mathbb{R}^2$.

Answer 1

Considere el círculo unidad. Cada línea tiene más de dos puntos en común con él, pero el círculo tiene una cantidad no numerable de puntos.

Answer 2

Deje $\;L=\{\ell_i\}_{i\in I}\;,\;\;|I|\le \aleph_0\;$ , un contable de la colección de rectas en el plano, y dejar también

$$\;Y:=\left\{y\in\Bbb R\;:\; \exists i\in I\;\text{such that}\; (0,y)\in\ell_i\right\}\;$$

Si $\;\;\bigcup\limits_{i\in I}\ell_i=\Bbb R^2\;$ debe ser que $\;Y=\mathcal Y:=\{(0,y)\;:\;\;y\in\Bbb R\}=\;$ $\;y -$ eje , pero esto no puede ser desde $\;|Y|\le\aleph_0\;$, mientras que de $\;|\mathcal Y|=2^{\aleph_0}=\mathfrak c :=\;$ el continuum cardenal.