¿Qué es $\int \log x \,\, \mathrm{d}x$?

Question

Hoy por hoy, uno de mis amigos me preguntó ¿cuál es el $$\int \log x \,\, \mathrm{d}x$$ y yo era incapaz de responder. Creo que acaba de tomar la serie de Taylor y la integran . Es que todos o algo más.

Nota: estoy en grado $11$ de los estudiantes, así yo no conozco a ningún cálculo avanzado y todas las funciones hiperbólicas.

Answer 1

Integración parcial no ayuda aquí. Tenemos \begin{align*} \int \log x \, dx &= \int 1 \cdot \log x \, dx \\ &= x \log x - \int x \cdot \frac 1x \, dx \\ &= x \log x - x+C. \end{align*}

Answer 2

Un poco más de tiempo es con un cambio de variable:

$$\int\ln x\mathrm d x\to\begin{matrix} x=e^y\\\mathrm d x=\mathrm d e^y=e^y\mathrm d y\end{matrix}\to\int ye^y\mathrm d y=ye^y-e^y+C=x(\ln x-1)+C$$

Por supuesto, esta respuesta es "peor" que una manipulación directa como otra respuesta muestra pero quiero solo para ilustrar un "diferente" para hacerlo.