Explícito homeomorphism entre abierto y cerrado racional de los intervalos?

Question

Sierpiński del teorema establece que cada contables espacio métrico sin puntos aislados es homeomórficos a $\mathbb{Q}$. (Una prueba se puede encontrar aquí y una discusión aquí).

Un corolario inmediato es que el racional intervalos de $[0,1],(0,1),[0,1)$ son homeomórficos. Sin embargo, el teorema de la prueba no es muy constructivo y, de hecho, bastante complicado. (No es trivial teorema).

Hay un camino para la construcción de una explícita homeomorphism entre estos intervalos?

Answer 1

Depende de cómo explícito que usted desea ser. Voy a esbozar una idea de con $(0,1)$$[0,1)$; puede ser extendida para manejar $[0,1]$.

Deje $x\in(0,1)$ ser irracional, y por $n\in\Bbb N$ deje $x_n=2^{-n}x$. (Tenga en cuenta que $0\in\Bbb N$.) Para $n\in\Bbb Z^+$ deje $I_n=(x_n,x_{n-1})\cap\Bbb Q$, y deje $I_0=(x_0,1)\cap\Bbb Q$. Cada uno de los conjuntos de $I_n$ $n\in\Bbb N$ es un clopen subconjunto de $[0,1)$. La idea es reorganizar $[0,1)$, que se parece a

$$0\,\ldots\,I_3\,I_2\,I_1\,I_0\;,$$

como $$I_1\,I_3\,I_5\,\ldots\,0\,\ldots\,I_4\,I_2\,I_0$$

y que coincida con $(0,1)$. Para ello, vamos a $y\in\left(0,\frac12\right)$ ser irracional. Para $n\in\Bbb N$ vamos

$$y_n=\frac12-2^{-n}y$$

y

$$z_n=\frac12+2^{-n}y\;.$$

Por último, vamos a $J_0=(z_0,1)\cap\Bbb Q$, $J_1=(0,y_0)\cap\Bbb Q$, y para $n\in\Bbb Z^+$ deje $J_{2n}=(z_n,z_{n-1})\cap\Bbb Q$$J_{2n+1}=(y_{n-1},y_n)\cap\Bbb Q$. Cada una de las $J_n$ es un clopen subconjunto de $(0,1)\cap\Bbb Q$, que se parece a

$$J_1\,J_3\,J_5\,\ldots\,\frac12\,\ldots\,J_4\,J_2\,J_0\;.$$

Para $n\in\Bbb N$ deje $h_n:I_n\to J_n$ ser un homeomorphism; luego

$$h:[0,1)\cap\Bbb Q\a(0,1)\cap\Bbb Q:q\mapsto\begin{cases} \frac12,&\text{if }q=0\\ h_n(q),&\text{if }q\in I_n \end{casos}$$

es un homeomorphism.

Para el homeomorphisms $h_n$ puede utilizar cualquier orden-isomorfismo; estos pueden ser definidos de forma recursiva en términos de una enumeración explícita de $\Bbb Q$. Esto probablemente no es tan explícita como realmente te gusta, pero no estoy seguro de que podemos hacer mucho mejor.