La integración de la línea en análisis complejo

Question

En la normal de la línea de la integración, por lo que entiendo, usted está midiendo el área por debajo de $f(x,y)$ a lo largo de una curva en el $x\text{-}y$ avión de un punto a a $a$ a punto de $b$.

Pero lo que está siendo medido con complejo de la integración de la línea, cuando se pasa de un punto de $z_1$ a un punto de $z_2$ en el plano complejo?

Con línea regular de integración puedo ver $f(x,y)$ mapas de $(x,y)$ a un punto en el $z$ eje directamente por encima por encima/debajo de $(x,y)$.

Pero en el caso complejo, al mapa desde el dominio $Z$ a la imagen $W$, son de asignación de $\mathbb{R^2}$ $\mathbb{R^2}$...no es la asignación de un punto a 'directamente arriba/abajo" ...así que no tengo la intuición de lo que está sucediendo con el complejo de la integración de la línea.

Answer 1

El más importante de cálculo en todos los complejos de análisis es la siguiente:

$$ \int_C \frac{1}{z}dz = 2\pi i $$

Donde $C$ es el círculo unitario con centro en el origen. Vamos a ver si somos capaces de entender esta integral geométricamente. Esperemos que esto va a iluminar el significado general del complejo integral así.

Cortar el círculo unidad en un millón de diminutos dirigida segmentos de línea (señalado en el "positivo" de la dirección). Cada uno de estos es un pequeño cambio en el $z$ a lo largo de la curva: cada uno de estos es un poco "$dz$". Los dirigidos segmento de línea desde el origen hasta el punto en el círculo unitario es $z$. Para los puntos en el círculo unidad, $\frac{1}{z} = \overline{z}$ es el reflejo de $z$ en el eje real. Recuerde que los números complejos se multiplican por la multiplicación de los módulos y la suma de los argumentos. Ya que si el argumento de $z$$\theta$, entonces el argumento de $dz$ $\frac{pi}{2}+\theta$ por la geometría (el radio es perpendicular a la tangente de un círculo), y el argumento de $\frac{1}{z}$$-\theta$. Así que el argumento de $\frac{1}{z}dz$$\frac{\pi}{2}$! También desde $|z|=1$, $|\frac{1}{z}dz|=|dz| = ds$, la longitud de el pequeño segmento de línea. Por lo tanto $\frac{1}{z}dz$ es un pequeño segmento de recta de longitud $ds$ apuntando hacia arriba, donde $ds$ es la longitud de un poco de arco del círculo. En otras palabras, $\frac{1}{z}dz = i ds$ Sumando todos estos alrededor del círculo unidad llegamos $2\pi i$.

Esperemos que esta imagen le ayuda a visualizar todo esto:

Answer 2

Olvídate de las áreas para el momento.

Considere la siguiente situación: En el comienzo está en el origen de la $x$-eje y se tiene que comprimir un resorte que se adjunta a los lejos a la derecha. Suponga que cuando el extremo izquierdo de la primavera es en un determinado$x\geq0$, a continuación, presiona de nuevo con la fuerza de $f(x)$. Si la fuerza fueron una constante$F$, entonces el trabajo $W$ realizado al empujar un carrito de $x_0$ $x_1$a lo largo de la $x$-eje sería $W=F\cdot(x_1-x_0)$. Pero en nuestro caso la fuerza es variable. Al comprimir el resorte empujando un carrito a la derecha, y después de algún tiempo usted está en el punto de $a>0$, entonces la cantidad total $W$ del trabajo realizado en este proceso es representado por $$W\doteq \sum_{k=1}^N f(\xi_k)\ (x_k-x_{k-1})\doteq \int_0^a f(x)\ dx\ ,$$ donde $0=x_0 < x_1 < \ldots < x_N=a$ es una partición del intervalo $[0,a]$, y $x_{k-1}\leq\xi_k\leq x_k$ $\ (1\leq k\leq N)$.

De forma análoga en el complejo de dominio para el propósito de las integrales de línea no debe considerar el da $z\mapsto f(z)$ como un mapeo de las $z$-plano a otro dominio, sino como un "complejo de escalares del campo", que define en cada punto de $z\in{\rm dom}(f)$ un cierto "complejo de la fuerza" $f(z)$. Para una constante de fuerza de $F\in{\mathbb C}$ "complejo de trabajo" realizado al empujar un carrito de $z_0$ $z_1$a lo largo de una línea recta está dado por $F\cdot(z_1-z_0)\in{\mathbb C}$ donde $\cdot$ denota el producto ordinario en ${\mathbb C}$.

Suponga ahora que usted está dada una curva $$\gamma:\quad t\mapsto z(t)\qquad(a\leq t\leq b)\ .$ $ , A continuación, el total de "complejo de trabajo" realizado al empujar un carro a lo largo de esta curva sería representado por $$W\doteq \sum_{k=1}^N f\bigl(z(\tau_k)\bigr)\bigl(z(t_k)-z(t_{k-1})\bigr)\doteq \int_a^b f\bigl(z(t)\bigr) z'(t)\ dt =:\int_\gamma f(z)\ dz\ .$$

Answer 3

Piense en ello como por separado recuento de las partes real e imaginaria de la función. Es decir, la ruta integral

$$ S=\int_C f(z) dz $$ podría ser escrita como una suma $S=R+iI$ de las partes real e imaginaria $$ R=\int_C \Re[f(z)] dz $$ y $$ I=\int_C \Im[f(z)] dz $$

Esto funciona para $n$-dimensiones coordinar la integración así, donde es separado recuento de cada coordenada del vector de valores de la función $f$, aunque por el momento de llegar allí, usted está bien en su manera a las conexiones de los colectores y de los acantilados de la locura.