Variable Dimensión Colectores

Question

Tengo curiosidad acerca de diferentes conceptos de la dimensionalidad, particularmente en lo que se refiere a los colectores.

Por ejemplo, no es el estándar fijo de la dimensionalidad de un puro suave colector, la dimensión de Hausdorff, varios diferentes nociones de dimensión Fractal, y otras nociones de dimensión (por ejemplo, [1], [2]). Algunos permiten fracciones de dimensionalidad; mi pregunta es si esto es posible de alguna manera para los colectores (o más bien para algunos colector-como objetos).

Una nota interesante es que en el colector de wiki el artículo menciona la noción de colectores donde la dimensionalidad de los cambios, por ejemplo en discontinuo unioning de una esfera y la línea. Sin embargo, los componentes conectados deben tener la misma dimensión, creo.

Pero hay una idea generalizada de colector de dimensionalidad que puede ser "que varían suavemente", en algún sentido?

Mi pregunta es, en parte motivado por la idea de que uno puede "imaginar" un constructo (por ejemplo, una superficie que forma un largo cono que se adelgaza en una línea). Por supuesto, esto no sería un colector de (de hecho, en ciencias de la computación, discretos "colectores", por ejemplo, mallas o de punto conjuntos, de los que hacen esto son los llamados "no-manifold"), pero tal vez hay una generalizada idea de que la admite y análisis?

El problema más evidente es el local de coordenadas, obviamente, son parte integral de la naturaleza. Pero no hay manera de parametrizar los fractales localmente (que son de dimensión fraccional)?

Preguntas relacionadas con:

• Puede un fractal ser un colector? Si es así, va a su límite (si existe) de ser estrictamente una dimensión inferior?
• Puede un fractal ser un colector? (Relación invariante colectores)

Answer 1

Para ser honesto, yo todavía no entiendo lo que su pregunta es. Aquí hay un par de conceptos que podrían estar relacionados con lo que usted está pensando. Ninguna de ellas es específica para los colectores, que son definidos por el general topológico, resp. métrica, espacios. Con el fin de evitar patológico ejemplos, voy a trabajar con el cierre de la subconjuntos $X$ $n$- dimensional espacio Euclidiano $E^n$.

Definición 1. El local topológica de dimensión de $X$$x$, denotado $dim(X,x)$ es $$ \lim_{r\to 0} dim(\bar{B}(x,r)\cap X), $$ donde $dim$ es el Lebesgue cubriendo dimensión y $\bar{B}(x,r)$ es la bola cerrada de radio $r$ centrada en $x$.

Por la propia definición, en esta dimensión toma sólo valores enteros.

Definición 2. El local de la dimensión de Hausdorff de $X$$x$, denotado $Hdim(X,x)$ es $$ \lim_{r\to 0} Hdim(\bar{B}(x,r)\cap X), $$ donde $Hdim$ es la dimensión de Hausdorff.

En vista de la monotonía de las propiedades de cubrimiento de la dimensión y la dimensión de Hausdorff, tenemos que:

1. $\forall x\in X$, $dim(X,x)\le dim(X)$ y $dim(X,x)$ es semicontinua superior como una función de la $x$.

2. $\forall x\in X$, $Hdim(X,x)\le Hdim(X)$ y $Hdim(X,x)$ es semicontinua superior como una función de la $x$.

Ejemplo. $X$ es igual a la unión de la $xy$-plane y el $z$eje $R^3$. A continuación, $Hdim(X,p)=dim(X,p)=2$ $p\in X$ siempre $p=(x,y,0)$ y $Hdim(X,p)=dim(X,p)=1$ $p\in X$ siempre $p=(0,0,z)$, $z\ne 0$. El mismo en el ejemplo de la unión de 2-dimensiones del cono y un rayo: Ni la función será continua.

Ni la dimensión local de la función es, en general, continua, como una función de la $x$. Si $X$ está conectado, a continuación, $dim(X,x)$ es continuo, como una función de $x$ si y sólo si es constante, igual a $dim(X)$. En contraste, hay ejemplos de conectado (fractal) $X$ tal que $Hdim(X,x)$ es continua pero no constante.

Como para "discretos colectores", esto es sólo un wild goose chase: Todos los estándar de la noción de dimensión (vacío) espacios discretos dan la misma respuesta, es decir, cero. Sin embargo, sospecho que hay un trivial análogo de la dimensión de Hausdorff de subconjuntos discretos de $E^n$, debe ser definido de manera similar a "homología persistente", que es un trivial de homología de la teoría asignado a las métricas de los espacios. Comparar esta discusión.