Demostrando un grupo, $G$, es un grupo de acción sobre un cierto conjunto, $X$

Question

Quiero demostrar que una función se define un grupo de acción:

Tenemos grupo de $G$ de diagonal $2\times 2$ matrices en la multiplicación de la matriz, y el conjunto de $X$ de los puntos del plano Cartesiano, por ejemplo:

$G = \left\{ \begin{bmatrix} a &0\\0&b \end{bmatrix} : a,b\in \mathbb{R} - \{0\} \right\}$, $X=\{(x,y): x,y \in \mathbb{R}\}$

Para cada una de las $g =\begin{bmatrix} a &0\\0&b \end{bmatrix}\in G$ $(x,y)\in X$ donde yo lo uso menos para denotar que $0\not\in$ de este conjunto, la función de definir

$g((x,y)) = (ax,by)$

Cómo probar cierre, la identidad y la composición? Se refieren a modificaciones por el esfuerzo demostrado. Pregunta de despejado para que la gente no lo consideren demasiado esfuerzo.

Answer 1

Usted podría haber visto que un grupo de acción $G \times X \to X$ es en realidad el mismo tipo de cosas como un grupo de morfismos $G \to \operatorname{Bij}(X)$. Es decir, para un grupo de acción $\varphi \colon G \times X \to X$, el grupo de morfismos es $\psi \colon g \mapsto \varphi(g,\cdot)$ ; por el contrario, cualquier grupo de morfismos $\psi \colon G \to \operatorname{Bij}(X)$ da lugar a una acción del grupo $\varphi \colon (g,x) \mapsto \psi(g)(x)$.

Aquí, la visualización de $2\times 2$-matrices lineal endomorphisms del avión, la inclusión $i \colon G \hookrightarrow \operatorname{Bij}(\mathbb R^2)$ es un grupo de morfismos dando lugar a que el grupo de acción $(g,(x,y)) \mapsto i(g)(x,y) = g(x,y)$, que es precisamente la función del ejercicio.

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La observación de que aquí la imagen de la inclusión $i$ es realmente incluido en el grupo $\operatorname{Aut}(\mathbb R^2)$ lineal de automorfismos del avión, no sólo en el grupo de conjunto de la teoría de la bijections. Es lo que se llama un (fieles) representación lineal del grupo $G$. Teoría de la representación es una bella teoría, se puede mirar hacia arriba si son curiosos.

Answer 2

De hecho, si trabajamos con vectores columna, el grupo de acción de que usted describe es simplemente la multiplicación de matrices.

$$g(x,y)= \begin{pmatrix}a&0\\0&b\end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} ax \\ by \end{pmatrix}$$

Ahora bien, el hecho de que esta es, de hecho, un grupo de acción de la siguiente manera a partir de las conocidas propiedades de la multiplicación de la matriz:

• Cierre: Si multiplicamos $2\times 2$ $2\times 1$- matriz, obtenemos de nuevo $2\times 1$-matriz.
• Identidad: la Multiplicación por la matriz identidad no cambia nada.
• La compatibilidad es una consecuencia de la asociatividad de la multiplicación de la matriz.

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Otra posibilidad la manera de ver este problema es verlo como el coordinatewise multiplicación de 2-dimensiones de los vectores. (Si usted identificar la matriz $\begin{pmatrix}a&0\\0&b\end{pmatrix}$ con el vector $(a,b)$.)