Verdadero/Falso: Es posible que los siguientes límites a todos verdad?

Question

Para $g:\ \Bbb{R}\to\Bbb{R}$, es posible que $$\lim\limits_{x\to -3}\frac{g(x)-g(-3)}{x-(-3)}=5$$ with $\lim\limits_{n\to \infty}g\left(-3+\frac{1}{n}\right)=7$, y $\lim\limits_{n\to \infty}g\left(-3+\frac{\pi}{n^2}\right)=5$.

Bueno, así que sé que los dos últimos límites son esencialmente la misma cosa, así que la respuesta debe ser falsa. Pero, ¿cómo puedo demostrar que el uso de la definición de un límite?

Answer 1

Desde $\lim_{x \to -3}\dfrac{g(x)-g(-3)}{x-(-3)} = 5$, tenemos $$\lim_{x \to -3} \left(g(x) - g(-3)\right) = 5\cdot \lim_{x \to -3} \left(x-(-3)\right) \implies \lim_{x \to -3}g(x) = g(-3)$$ Sin embargo, $\lim_{n \to \infty} g\left(-3+\dfrac1n\right) = 7$$\lim_{n \to \infty} g\left(-3+\dfrac{\pi}{n^2}\right) = 5$, contradiciendo el hecho de que $\lim_{x \to -3}g(x) = g(-3)$.

Answer 2

Sugerencia: $\displaystyle \lim_{x \to a}f(x) = L$ si y sólo si, para cada secuencia $\left \{p_n \right \}$ tal que

• $\displaystyle \lim_{n\to \infty}p_n=a$
• $p_n \neq a$ todos los $n$

A continuación, $$\lim_{n \to \infty}f(p_n)=L$$