¿Cuál es el límite de $$ \lambda =\lim\limits_{n \to \infty}{n\int_0^{\frac{\pi}{2}}(\sin x)^{2n} dx}$$ me gustaría encontrar sin Wallis integral de la fórmula: me refiero a que sin la evaluación de la forma cerrada. Es posible? Gracias.
Respuesta
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Tenga en cuenta que $$ \int_{0}^{\pi/2}(\sin x)^{2n}dx=\int_{0}^{\pi/2}(\cos x)^{2n}dx=\frac{1}{2}\int_{-\pi/2}^{\pi/2}e^{-n f(x)}dx, $$ donde $f(x)=-2\log\cos x$. Como $n\rightarrow \infty$, la integral es dominado por la región alrededor de $x=0$, ya que es la única mínimo de $f(x)$. Pero para los pequeños $x$ hemos $$ f(x)=-2\log\cos x \aprox -2\log(1-x^2/2)\aprox x^2. $$ Así $$ \int_{0}^{\pi/2}(\sin x)^{2n}dx \;\sim\; \frac{1}{2}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-nx^2}dx=\frac{\sqrt{\pi}}{2\sqrt{n}} $$ como $n\rightarrow \infty$.
