Otra prueba que amplía mi comentario, en caso de que no estés del todo contento con la respuesta de Paul, utilizando otra definición (equivalente) de números de intersección a través del índice de campos vectoriales. Espero que puedas encontrar la similitud formal entre la mía y la de Paul.
Como la definición del número de intersección requiere que perturbemos los submanifolds ( $\Delta$ en este caso) para lograr la transversalidad, permítanme perturbar cada una de ellas. Es decir, para $\Delta_X \subseteq X\times X$ obtenemos $f_X:\Delta_X\to X\times X$ que es transversal a $\Delta_X$ y de manera similar $f_Y:\Delta_Y\to Y\times Y$ para $\Delta_Y$ . Ahora, recuerda que $\Delta=\Delta_{X\times Y}=\Delta_X\times \Delta_Y$ (hasta la identificación canónica $X\times X\times Y\times Y\cong X\times Y\times X\times Y$ ). De nuevo tenemos que considerar una bonita perturbación de la diagonal $\Delta$ pero ahora estamos en mejor situación: $f_X\times f_Y:\Delta_X\times \Delta_Y\to X\times Y\times X\times Y$ logra la transversalidad requerida con respecto a $\Delta$ . Por lo tanto, a partir de la definición del número de intersección $I(\Delta,\Delta),$
$\begin{align*} I(\Delta,\Delta)&=\sum_{(x,y,x,y)\in \Delta\cap f_X\times f_Y} \left(\mathrm{the\;sign\;of\;the\;intersection\;at\;}(x,y,x,y)\right)\\ &=\sum_{(x,y,x,y)\in \Delta\cap f_X\times f_Y} sgn_{X\times Y\times X\times Y}(x,y,x,y)\;\;\textrm{where }sgn\textrm{ means sign of blahblah from now on}\\ &=\sum_{(x,x)\in \Delta_X\cap f_X}\sum_{(y,y)\in \Delta_Y\cap f_Y} sgn_{X\times Y\times X\times Y}(x,y,x,y)\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\textrm{by the rule of product}\\ &=\sum_{(x,x)\in \Delta_X\cap f_X}\sum_{(y,y)\in \Delta_Y\cap f_Y} sgn_{X\times X}(x,x)sgn_{Y\times Y}(y,y)\;\;\;\;\;\;\;\;\textrm{ by the orientation convention}\\ &=I(\Delta_X,\Delta_X)I(\Delta_Y,\Delta_Y). \end{align*}$
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Esencialmente debido a la regla del producto (en relación con el número de puntos de intersección (geométricos)) y la definición de la orientación (en relación con el signo de la intersección).
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@cjackal ¿Podría ampliar esto por favor? No sé cómo ensamblar estos hechos para obtener el resultado.