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$\chi(X\times Y)=\chi(X)\cdot\chi(Y)$

Para un colector orientado compacto $X$ definir $\chi (X)=I(\Delta,\Delta)$ donde $\Delta$ es la diagonal en $X\times X$ y $I$ es el número de intersección. ¿Cómo puedo demostrar que $\chi(X\times Y)=\chi(X)\cdot\chi(Y)$ ?

Esto se reduce a demostrar que $$I(\{(x,y,x,y)| x\in X, y\in Y\}, \{(x,y,x,y)| x\in X, y\in Y\})=I(\{(x,x)|x\in X\},\{(x,x)|x\in X\})\cdot I(\{(y,y)|y\in Y\},\{(y,y)|y\in Y\})$$

Pero no estoy seguro de cómo calcular el número de intersección del lado izquierdo para obtener un producto. (Para empezar, si denoto por $\Delta$ la diagonal en $X\times Y$ entonces los submanifolds $\Delta$ , $\Delta$ no son transversales, y la inclusión de $\Delta$ en $X\times Y$ no es transversal a $\Delta$ .)

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Esencialmente debido a la regla del producto (en relación con el número de puntos de intersección (geométricos)) y la definición de la orientación (en relación con el signo de la intersección).

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@cjackal ¿Podría ampliar esto por favor? No sé cómo ensamblar estos hechos para obtener el resultado.

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Daniel Plaisted Puntos 11183

La idea clave es que para cualquier colector $M$ el haz normal de la diagonal en $M \times M$ es difeomorfo al haz tangente de $M$ . Bajo esta identificación la incrustación diagonal $m \mapsto (m,m)$ corresponde a la sección cero de $TM$ .

Ahora, elija los campos vectoriales $V$ y $W$ en $X$ y $Y$ respectivamente, de manera que $V$ y $W$ tienen cada uno de ellos ceros aislados, lo que equivale a decir que intersecan transversalmente la sección cero del haz de tangentes. Consideremos el campo vectorial $V \times W$ definido por $(V \times W)(x,y) = ((x,y), (V(x),W(y)))$ en $T(X \times Y) \cong \pi_X^*(TX) \oplus \pi_Y^*(TY)$ donde $\pi_X \colon X \times Y \to X$ y $\pi_Y \colon X \times Y \to Y$ son los mapas de proyección. Así, el conjunto cero de $V \times W$ satisface $Z_{V \times W} \cong Z_V \times Z_W$ y en particular los ceros están aislados.

Además, para cada $(x_i, y_j) \in Z_V \times Z_W$ tenemos $ind_{x_i, y_j}(V \times W) = ind_{x_i}(V) \cdot ind_{y_j}(W)$ . Se puede demostrar esto de diferentes maneras, dependiendo de cómo se prefiera definir el grado de un mapa suave, pero en cualquier caso el resultado es:

\begin{align*} \chi(X \times Y) &= \sum_{(x_i, y_j) \in Z_{V \times W}} ind_{x_i, y_j}(V \times W) \\ &= \sum_{x_i \in Z_V, y_i \in Z_W} ind_{x_i}(V) \cdot ind_{y_i}(W) \\ &= \left(\sum_{x_i \in Z_V} ind_{x_i}(V)\right) \left(\sum_{y_j \in Z_W} ind_{y_j}(W)\right) \\ &= \chi(X) \chi(Y) \end{align*}

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gregers Puntos 2997

Otra prueba que amplía mi comentario, en caso de que no estés del todo contento con la respuesta de Paul, utilizando otra definición (equivalente) de números de intersección a través del índice de campos vectoriales. Espero que puedas encontrar la similitud formal entre la mía y la de Paul.

Como la definición del número de intersección requiere que perturbemos los submanifolds ( $\Delta$ en este caso) para lograr la transversalidad, permítanme perturbar cada una de ellas. Es decir, para $\Delta_X \subseteq X\times X$ obtenemos $f_X:\Delta_X\to X\times X$ que es transversal a $\Delta_X$ y de manera similar $f_Y:\Delta_Y\to Y\times Y$ para $\Delta_Y$ . Ahora, recuerda que $\Delta=\Delta_{X\times Y}=\Delta_X\times \Delta_Y$ (hasta la identificación canónica $X\times X\times Y\times Y\cong X\times Y\times X\times Y$ ). De nuevo tenemos que considerar una bonita perturbación de la diagonal $\Delta$ pero ahora estamos en mejor situación: $f_X\times f_Y:\Delta_X\times \Delta_Y\to X\times Y\times X\times Y$ logra la transversalidad requerida con respecto a $\Delta$ . Por lo tanto, a partir de la definición del número de intersección $I(\Delta,\Delta),$

$\begin{align*} I(\Delta,\Delta)&=\sum_{(x,y,x,y)\in \Delta\cap f_X\times f_Y} \left(\mathrm{the\;sign\;of\;the\;intersection\;at\;}(x,y,x,y)\right)\\ &=\sum_{(x,y,x,y)\in \Delta\cap f_X\times f_Y} sgn_{X\times Y\times X\times Y}(x,y,x,y)\;\;\textrm{where }sgn\textrm{ means sign of blahblah from now on}\\ &=\sum_{(x,x)\in \Delta_X\cap f_X}\sum_{(y,y)\in \Delta_Y\cap f_Y} sgn_{X\times Y\times X\times Y}(x,y,x,y)\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\textrm{by the rule of product}\\ &=\sum_{(x,x)\in \Delta_X\cap f_X}\sum_{(y,y)\in \Delta_Y\cap f_Y} sgn_{X\times X}(x,x)sgn_{Y\times Y}(y,y)\;\;\;\;\;\;\;\;\textrm{ by the orientation convention}\\ &=I(\Delta_X,\Delta_X)I(\Delta_Y,\Delta_Y). \end{align*}$

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