Encontrar un número real $a,b$ tal $a^n+b^n$ es racional

Question

Pregunta:

demostrar o refutar que existen números reales $a,b$ tales siguen dos condiciones:

(1): $a+b$ es irracional

(2): para cualquier entero positivo $n\ge 2$ entonces $a^n+b^n$ es racional.

Tengo que saber si

$n=2k$ caso es cierto, porque dejo que $a=\sqrt{2}+1,b=\sqrt{2}-1$ Así que $$a^{2k}+b^{2k}=(\sqrt{2}+1)^{2k}+(\sqrt{2}-1)^{2k}\in Q$$

Pero para $n=2k+1$ (si no puedes encontrar, ¿puedes demostrar cuando $n=2k+1$ (no puede salir ) Gracias por la ayuda

Answer 1

Supongamos que $a,b$ son números reales tales que $a^n+b^n$ es racional para todos los enteros $n \ge 2$ .

Desde $a^2+b^2$ y $a^4+b^4$ son racionales, $\dfrac{(a^2+b^2)^2-(a^4+b^4)}{2} = a^2b^2$ también es racional.

Entonces, como $(a^5+b^5)-(a^2+b^2)(a^3+b^3)+a^2b^2(a+b) = 0$ tenemos que

$\dfrac{(a^2+b^2)(a^3+b^3)-(a^5+b^5)}{a^2b^2} = a+b$ es racional, como se desea.

EDIT: Lo anterior sólo es válido si $a^2b^2 \neq 0$ pero el caso en el que $a = 0$ o $b = 0$ es fácil.

Answer 2

Teorema . No hay números reales $a,b$ tal que $$\hbox{$ a+b $ is irrational}$$ y $$\hbox{$ a^2+b^2 $, $ a^3+b^3 $, $ a^4+b^4 $ and $ a^6+b^6 $ are rational.}$$

Prueba . Supongamos que existen tales $a,b$ ; es evidente que son distintos de cero. Entonces $$2a^2b^2=(a^2+b^2)^2-(a^4+b^4)$$ y $$2a^3b^3=(a^3+b^3)^2-(a^6+b^6)$$ son racionales, y también lo es $$ab=\frac{2a^3b^3}{2a^2b^2}\ .$$ Por lo tanto, $$(a+b)^2=(a^2+b^2)+2ab$$ es racional, y como $$(a+b)^3=(a^3+b^3)+3ab(a+b)$$ tenemos $$a+b=\frac{a^3+b^3}{(a+b)^2-3ab}$$ que es racional (nótese que con real $a,b$ el denominador de esta última fracción no puede ser cero).