Demostrar que la única solución a $n | (3^{n-1})^2 + 3^{n-1} + 1$ es $n = 1$ .

Question

En general, tengo problemas para razonar sobre el orden de 3 mod n, y los divisores de n-1.

Hasta ahora, tengo que $\mathrm{ord}_n(3) :=m$ , $m \not | \,\,\,n-1$ (o bien obtenemos $1+1+1 \equiv 0$ )

Tengo $n \ne p$ para $p$ primo, y $n \ne qk$ para $k > q$ y $q = 2,3,5$ .

Tengo que desde $3^{n-1} \not \equiv 1$ mod $n$ , $(3^{n-1})^3 \equiv 1$ mod $n$ si $ (3^{n-1})^2 + 3^{n-1} + 1 \equiv 0$ mod $n$ . Así que $m | 3n-3$ .

Así que no estoy seguro de cómo razonar sobre el orden de 3, o cómo bajar exactamente a la congruencia mod prime o a los divisores de potencia prime de $n$ . Siento que si fuera capaz de hacerlo, la pregunta se desharía en mis manos para revelar la respuesta.

Editar: Tengo que si $m = 3^{\beta}a$ donde $(a,3) =1$ y $n-1 = 3^\alpha b$ entonces $\beta > \alpha$ y $a|b\,$ (podemos tener que $\alpha = 0$ ). Así que en particular, $3|m$ y $(m,n-1) = a$ .

Answer 1

Supongamos que, para algún número entero no negativo $k$ , $3^k\mid n-1$ y $3^{k+1}\nmid n-1$ , para $n-1$ un número entero positivo. Considere un primo $p\mid n$ (como $n\ge 1$ ). Es evidente que $p\neq 3$ . De lo contrario, considere $m=\mathrm{ord}_p(3)$ . Análogamente a su prueba anterior, se puede demostrar que $$ m\mid 3(n-1) $$ pero $$ m\nmid (n-1) $$ Implica $3^{k+1}\mid m$ . Ahora bien, desde $m\mid p-1$ (por el Pequeño Teorema de Fermat) obtenemos que $3^{k+1}\mid p-1$ para todos $p\mid n$ . Pero esto implica $3^{k+1}\mid n-1$ una contradicción.