Anillo con finitamente muchas unidades y campos de residuos finitos

Question

Deje $A$ ser un anillo conmutativo, de tal manera que $A^*$ es finito, y que para todo ideal maximal $\frak m$, $A/\frak m$ es finito. Es cierto que $A$ es numerable? He estado tratando de refutar esta mirando a $\mathbf{K}[X]$ donde $X=(X_i)_{i \in I}$ $I$ es no numerable, pero no puedo demostrar que la máxima ideales de este anillo son triviales, de modo que el resto de campos ser isomorfo a $\mathbf{K}$ (a continuación, elija $\mathbf{K}$ finito). Otra idea fue buscar la máxima ideales de algunos no-numerable producto$\prod_i K$, pero de nuevo puede haber alguna extraña máxima ideales (como ultrafilters).

¿Qué te parece? Tal vez la respuesta a la pregunta es, de hecho, sí?

Answer 1

Cualquier anillo Booleano $B$, tal como un producto de $\prod_i \mathbb{F}_2$ más de una arbitraria conjunto de índices, tiene esta propiedad. Si $u$ es una unidad, entonces la $u^2 = u$ implica $u = 1$, lo $1$ es la única unidad. Si $P$ es un alojamiento ideal, a continuación, $B/P$ es un valor Booleano anillo, que es también una parte integral de dominio, y teniendo en cuenta la ecuación de $u(1 - u) = 0$ se sigue que el único anillo Booleano es $\mathbb{F}_2$. Por lo tanto extraña máxima ideales no son un problema.