Hölder la desigualdad con tres funciones

Question

Deje $p,q,r \in (1,\infty)$$1/p+1/q+1/r=1$. Demostrar que para cada una de las funciones de $f \in L^p(\mathbb{R})$, $g \in L^q(\mathbb{R})$,y $h \in L^r(\mathbb{R})$ $$\int_{\mathbb{R}} |fgh|\leq \|f\|_p\centerdot \|g\|_q \centerdot\|h\|_r.$$

Yo iba a usar Hölder la desigualdad dejando $1/p+1/q= 1/(pq/p+q)$ y WLOG deje $p<q$, de modo que $L_q(\mathbb{R})\subseteq L_p(\mathbb{R})$, pero no puedo utilizar esta inclusión debido a $\mathbb{R}$ no tiene medida finita.

Por favor, ¿puedes ayudarme si usted tiene cualquier otro método para abordar este problema?

Answer 1

La idea es mostrar una serie de desigualdades: $$\int|fgh|\leq\|fg\|_{p'}\|h\|_r\leq\|f\|_p\|g\|_q\|h\|_r$$ where $p'=\frac{pq}{p+q}$ or $\frac{1}{p'}=\frac{1}{p}+\frac{1}{q}$ or $1=\frac{1}{p/p'}+\frac{1}{q/p'}$.

En primer lugar mostramos que $\|fg\|_{p'}\leq \|f\|_p\|g\|_q$. Esto es fácil, ya que $$\|fg\|_{p'}=\left(\int|fg|^{p'}\right)^{\frac{1}{p'}}\leq(\|f^{p'}\|_{p/p'}\|g^{p'}\|_{q/p'})^{\frac{1}{p'}}=\|f\|_p\|g\|_q,$$ where we apply the Holder's inequality (it is permissible since $|f|\en L^p(\mathbb{R})$, thus $|f|^{p'}\en L^{p/p'}(\mathbb{R})$). As a result, $|fg|\en L^{p'}(\mathbb{R})$. Solicitar del Titular de la desigualdad de nuevo, obtenemos la primera desigualdad en el extremo anterior. Espero que esto le ayudará.

Answer 2

Podemos utilizar una generalizada AM-GM de la desigualdad a deducir que si $1/p+1/q+1/r=1$, luego

$$abc\le\frac{a^p}{p}+\frac{b^q}{q}+\frac{c^r}{r}$$

para no negativo $a,b,c$. Deje $a=|f(x)|/\|f\|_p,\,b=|g(x)|/\|g\|_q,\,c=|h(x)|/\|h\|_r$, y, a continuación, integrar ambos lados de la desigualdad en $\mathbb{R}$ obtener

$$\frac{\|fgh\|_1}{\|f\|_p\|g\|_q\|h\|_r}\le\frac{1}{p}+\frac{1}{q}+\frac{1}{r}=1.$$

Multiplicar y usted tiene del Titular de la desigualdad de tres funciones.