Estoy tratando de encontrar una prueba para una propiedad de Floudas' no Lineal y entera Mixta de la Optimización del libro. Considere la posibilidad de un problema de optimización no lineal de la forma \begin{align} \min_{{\bf x}}&\quad f({\bf x})\\ \nonumber \text{subject to } \quad&{\bf h}({\bf x}) = {\bf 0}\\ \nonumber \quad&{\bf g}({\bf x}) \le {\bf 0}\\ \nonumber \quad&{\bf x}\in {\bf X} \end{align} donde ${\bf X}$ es un conjunto convexo no vacío. No hay supuestos en ${\bf h}$ o ${\bf g}$ son hechos. Forma el parcial de Lagrange del problema anterior como \begin{align} L({\bf x},\lambda,\mu) = f({\bf x}) + \lambda^T{\bf h}({\bf x}) + \mu^T{\bf g}({\bf x}) \end{align} La doble función de la forma de \begin{align} \phi(\lambda,\mu) = \inf_{{\bf x}\in{\bf X}}L({\bf x},\lambda,\mu) \end{align} Definir el conjunto ${\bf Y}(\lambda,\mu) = \{{\bf x}^*:{\bf x}^* \text{ minimizes }L({\bf x},\lambda,\mu)\text{ over }{\bf x}\in {\bf X} \}$.
Propiedad (4.2.3 - la diferenciabilidad de una función dual) Vamos $f({\bf x})$, ${\bf h}({\bf x})$, ${\bf g}({\bf x})$ ser funciones continuas, y ${\bf X}$ ser un conjunto compacto no vacío. Si el conjunto de ${\bf Y}(\bar\lambda,\bar\mu)$ se reduce a un solo elemento en el punto de $(\bar\lambda,\bar\mu)$, el doble función $\phi(\lambda,\mu)$ es diferenciable en a $(\bar\lambda,\bar\mu)$ y su pendiente es \begin{align} \nabla\phi(\bar\lambda,\bar\mu) = ({\bf h}({\bf x}^*),{\bf g}({\bf x}^*)) \end{align}
Mi intento de solución:
Vamos \begin{align} {\bf x}^*(\lambda,\mu) = \arg \min_{{\bf x}\in{\bf X}}L({\bf x},\lambda,\mu) \end{align} Entonces \begin{align} \phi(\lambda,\mu) = f({\bf x}^*(\lambda,\mu)) + \lambda^T{\bf h}({\bf x}^*(\lambda,\mu)) + \mu^T{\bf g}({\bf x}^*(\lambda,\mu)) \end{align} Estoy teniendo dificultad en formar el gradiente de la anterior. Voy a hacer acerca de esto de la manera correcta?
