Grupo de permutación primitivo con subdegrado 4

Question

¿Cuáles son los tamaños posibles de un estabilizador puntual en un grupo de permutaciones primitivo, donde el estabilizador puntual tiene una órbita de tamaño 4?

Siguiendo la tradición de subgrado 3 y subgrado 2 , me pregunto sobre el subgrado 4. Este sería el siguiente ejercicio de la serie 8B.5, 8B.6, 8B.7 sobre página 249 del libro de texto Teoría de Grupos Finitos de Isaacs.

Tengo una prueba aproximada de que el estabilizador puntual tiene orden de la forma 2 a 3 b y (al menos hasta ahora) todos los ejemplos que he visto tienen a 5, b 2.

¿Es cierto que el estabilizador puntual tiene orden de la forma 2 a 3 b ? En caso afirmativo, ¿es cierto que a 5, b 2?

En general, creo que es cierto que todo divisor primo del orden del estabilizador puntual es menor o igual que el tamaño de la subórbita, pero no tengo una idea real de lo grandes que pueden ser las potencias primas. Mi demostración es muy sencilla y no utiliza teoría de grafos.

Todavía no he tenido la oportunidad de leer detenidamente Sims (1967) [exacto a para el subgrado 3] Wong (1967) [estructura exacta para el subgrado 3] Sims (1968) [exacto a para el subgrado 4, pero suponiendo b \=0?] Thompson (1970) [control general] o Cameron et al. (1983) [existencia de un límite general] por lo que la respuesta podría ser bastante fácil.

Creo que CPSS (1983) simplifica radicalmente (tal vez incluso trivializa) para el subgrado 4, pero Sims (1968) parece sólo una respuesta parcial. No está claro para mí si sabemos algo simple (al menos para subdegree 4) combinatoria problema equivalente a este problema.

• Sims, Charles C. "Grafos y grupos de permutaciones finitas". Math. Z. 95 (1967) 76-86. MR 204509 DOI: 10.1007/BF01117534
• Wong, Warren J. "Determinación de una clase de grupos de permutaciones primitivas". Math. Z. 99 (1967) 235-246. MR 214653 DOI: 10.1007/BF01112454
• Sims, Charles C. "Grafos y grupos de permutaciones finitas. II." Math. Z. 103 (1968) 276-281. MR 225865 DOI: 10.1007/BF01114994
• Thompson, John G. "Límites para órdenes de subgrupos maximales". J. Algebra 14 (1970) 135-138. MR 252500 DOI: 10.1016/0021-8693(70)90117-1
• Cameron, P. J., Praeger, C. E., Saxl, J., & Seitz, G. M. "Sobre la conjetura de Sims y los grafos transitivos a distancia". Bull. London Math. Soc., 15(5) (1983) 499-506. MR 705530 DOI: 10.1112/blms/15.5.499

Answer 1

Ignorando el CPSS, que no estoy seguro de que sea útil para encontrar el límite superior exacto, las siguientes referencias importantes sobre este problema son (por orden cronológico) :

[1] W.L. Quirin, Primitive permutation groups with small orbitals, Math. Z. 122 (1971) 267-274.

[2] J. Wang, The primitive permutation groups with an orbital of length 4, Comm. Algebra 20 (1992) 889-921.

[3] C.H. Li, Z.P. Lu, D. Marusic, On primitive permutation groups with small suborbits and their orbital graphs, J. Algebra 279 (2004) 749-770.

Lo mejor es simplemente leer la introducción de [3]. En ella se incluye una breve historia y se da la lista completa de posibles estabilizadores, incluida una corrección sobre la supuesta existencia de un ejemplo de orden $2^43^6$ .

Resulta que el orden de un estabilizador divide $2^5$ o $2^43^2$ y esto es nítido. (Así que la respuesta a tu pregunta es "sí").