El libro que estoy leyendo dice que la negación de "$A$ implica $B$ ""$A$ no implica, necesariamente, $B$ " y no "$A$ implica que no $B$". Entiendo la distinción entre los dos casos, pero ¿por qué es la primera que se considera verdadero?
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JoshL
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Aquí está una explicación más intuitiva. Supongamos que $A$ $B$ no están relacionados. Por ejemplo, $A$ podría ser "Francia es un país en Europa" y $B$ "voy a ganar la lotería". Sin duda, es el caso que conocemos $A$ no implica $B$ para las siguientes oraciones: a sabiendas de que Francia está en Europa me dice nada sobre el futuro! Pero tampoco podemos saber que $A \Rightarrow \lnot B$, por la misma razón.
Así que en este caso, sólo se sabe que $A \not \Rightarrow B$. Esto muestra que hay una diferencia entre el $A \not \Rightarrow B$ (que sólo se dice que $A$ no implica $B$) y $A \Rightarrow \lnot B$ (lo que dice $A$ implica la negación de la $B$).
Este tipo de intuición es importante cuando usted mueve de la lógica proposicional para más general de las matemáticas. Por ejemplo, supongamos que estamos mirando los números naturales. Deje $A$ dicen "$x$ es incluso un número natural" y deje $B$ dicen "$x$ es un número natural que es múltiplo de $6$". Ni $A$ ni $B$ es verdadera o falsa en su cuenta, ya que los $x$ no tiene ningún valor fijo. A veces $A$ es verdad y a veces es falso. Pero todavía tenemos que $A \not \Rightarrow B$ (por ejemplo, $2$ es incluso pero no es un múltiplo de 6) y $B \Rightarrow A$ (debido a que cada múltiplo de 6, incluso). No contamos $A \Rightarrow \lnot B$ (debido a que algunos números son múltiplos de 6).
En lugar de tratar de analizar esto más complicado tipo de implicación en términos de valores de verdad, es útil para desarrollar el derecho a la intuición: $A \Rightarrow B$ dice que a sabiendas de $A$ es suficiente para saber $B$. A partir de esa intuición, se puede trabajar los trámites que implican la verdad de los valores, pero lo más importante que usted puede hacer matemáticas a partir de esa intuición.
Yves Daoust
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DanielV
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$ \newcommand{\T} {\text{True}} \newcommand{\F} {\text{False}}$
$$\begin{array} {cc|cc} A & B & A \implies \lnot B & A \not \implies B \\ \hline \T & \T & \F & \F \\ \T & \F & \T & \T \\ \F & \T & \T & \F \\ \F & \F & \T & \F \\ \end{array}$$
Así que, de hecho de material de implicación, $A \implies \lnot B$ $A \not \implies B$ son los mismos, excepto cuando se $A$ es falso. Esto hace que sea posible construir un contador de ejemplo:
La verdadera declaración de $A \implies B$:
Si usted es un extranjero, entonces usted no ha publicado en las matemáticas.se.
Que es una declaración verdadera, porque la frase calificativa es falso.
Incorrecto negación: $A \implies \lnot B$
Si usted es un extranjero, entonces se han publicado en las matemáticas.se.
La frase calificativa sigue sin cambios y tan falso, por lo que la afirmación es verdadera, por lo que no es una negación de la declaración original.
Correcto negación $A \not \implies B$:
Usted es un extranjero y que se han publicado en las matemáticas.se.
Esa declaración es (lamentablemente) falso. Eso es porque es la negación de la declaración original.
Daniel W. Farlow
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Voy a asumir que usted está familiarizado con dos de equivalencias (si no, entonces simplemente escribir las tablas de verdad para comprobar ellos): $$ A\B\equiv\neg\lor B\quad(1)\qquad\text{y}\qquad\neg(a\lor B)\equiv\neg\de la tierra\neg B\quad(2). $$
¿Por qué su libro está a la derecha: podemos negar cualquier cosa simplemente de cambiar a "no es el caso que...", y esto es básicamente lo que sus autores han hecho. Más específicamente: "la negación de La '$A$ implica $B$' es 'no es el caso que $A$ implica $B$'." Por supuesto, simplemente diciendo: "no es el caso" es muy útil. Esa es la razón por lo que su libro de texto de los autores están diciendo es correcto, pero lo que están diciendo no es muy significativa (es decir, no te dan ningún sentido de lo que es la negación de "$A$ implica $B$" en realidad significa que en cualquier forma útil).
Por qué se equivoca: Vamos a considerar lo que la negación de la $A\to B$ $A\to\neg B$ son equivalentes a mediante la reducción de ellos fácilmente comprensible declaraciones usando $(1)$$(2)$. Haciendo esto le mostrará por qué su intuición fuera de la base.
Para la negación de la $A\to B$, tenemos los siguientes: $$ \neg(a\B)\equiv\underbrace{\neg(\neg\lor B)}_{\text{utilizarse $(1)$}}\equiv \underbrace{A\de la tierra\neg B}_{\text{utilizarse $(2)$}}. $$ Para $A\to\neg B$, tenemos los siguientes: $$ Un\a\neg B\equiv\underbrace{\neg\lor\neg B)}_{\text{utilizarse $(1)$}}. $$ Debe ser bastante claro ahora que $$ \neg(a\B)\equiv\de la tierra\neg B\no\equiv\neg\lor\neg B\equiv\a\neg B, $$ pero para aclarar, considere lo que sucede cuando $A$ es falso e $B$ es cierto. Tendríamos que $A\land\neg B$ es falso , mientras que $\neg A\lor\neg B$ es cierto, contradiciendo la idea de que son equivalentes.
¿Que aclarar las cosas?
madeel
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Una implica B es lógicamente equivalente a (no a o B ). Y su negación por parte De Morgan, la ley es simplemente (a y no B). Usted puede escribir la tabla de verdad para ver.
La única manera de que una implicación fallará es si la hipótesis es verdadera, pero la conclusión es falsa. Esto es simplemente (a y no B). Si usted niega lo que va a obtener (no a o B) que es lógicamente equivalente a implica B.
