* Un conjunto que contiene un punto síngular es un continuo degenerado.

Question

Viejo qual pregunta aquí.

Deje $X$ estar conectado y $C\subset X$ ser cerrado tal que el límite de $C$ es un punto. Mostrar que $C$ está conectado.

Intento:

Por contradicción, supongamos $U,V$ son disjuntos no vacíos de conjuntos abiertos en $C$ tal que $C=U\cup V$. Llame a $y=\partial C$ e decir $y\in U$. A continuación,$V\subset\operatorname{int}C$, que es abierto, por lo $V$ está abierto en $X$. Desde $C$ es cerrado en $X$, $C^C$ está abierto en $X$.

Esto es donde estoy atascado. Creo que el $U\cup C^C$ tiene que ser abierta en$X$, $X=(U\cup C^C)\cup V$ no sería conectado, una contradicción. Pero estoy atascado aquí.

Answer 1

Tenga en cuenta que desde $C$ está cerrada,$\partial C = C \setminus \operatorname{Int} (C)$, lo $C = \{ x \} \cup \operatorname{Int}(C)$ donde $\partial C = \{ x \}$.

Supongamos que $C$ no está conectado, por lo que no se $U,V$ abierto subconjuntos de a $X$ tal que

• $U \cap C \neq \emptyset \neq V \cap C$,
• $C \subseteq U \cup V$,
• $(U \cap V ) \cap C = \emptyset$.

Sin pérdida de generalidad, $x \in U$. Entonces como $x \notin V$ reemplazando $V$ $V \cap C = V \cap \operatorname{Int} ( C )$ podemos suponer que la $V \subseteq C$, y así, en particular,$V \cap U = \emptyset$.

Considere la posibilidad de $U \cup ( X \setminus C )$, e $V$.

• Claramente $U \cup ( X \setminus C)$ $V$ son subconjuntos abiertos de $X$.
• Tenga en cuenta que $( U \cup ( X \setminus C ) ) \cup V = ( U \cup V ) \cup ( X \setminus C ) \supseteq C \cup ( X \setminus C ) = X$.
• Tenga en cuenta que $( U \cap ( X \setminus C ) ) \cap V = ( U \cap V ) \cup ( ( X \setminus C ) \cap V ) = \emptyset$.

Por lo tanto, $U \cup ( X \setminus C )$ $V$ forma una separación de $X$, contradiciendo ese $X$ está conectado! Por ello, debe ser que $C$ está conectado.

Answer 2

Aquí es un poco más simple argumento (a lo largo de las mismas líneas generales).

Supongamos que $p$ es el único límite de punto de $C$, y tenga en cuenta que $\operatorname{int}C=C\setminus\{p\}$. Si $C$ no está conectado, hay no vacía de conjuntos de $H$$K$, relativamente cerrado en $C$, de tal manera que $H\cap K=\varnothing$ y $H\cup K=C$. $C$ está cerrado, así que, en realidad $H$ $K$ están cerrados en $X$. Sin pérdida de generalidad supongamos que $p\in K$. A continuación,$H=(\operatorname{int}C)\setminus K$, que es abierto, por lo $H$ es clopen (es decir, cerrados y abiertos). Desde $\varnothing\ne H\ne X$, se deduce inmediatamente que $X$ no está conectado: $H$ $X\setminus H$ forma una separación de $X$.

(Si no ver de inmediato qué $(\operatorname{int}C)\setminus K$ está abierto, se nota que es igual a $(\operatorname{int}C)\cap(X\setminus K)$, la intersección de dos conjuntos en $X$.)

Answer 3

Deje $\partial C=\{p\}$, y deje $V,W$ ser abierto subconjuntos de a $X$ tal que $C\subseteq V\cup W$$C\cap V\cap W=\emptyset$. Asumimos WLOG que $p\in V$, y, en consecuencia, definimos $A:=C^c\cup V, B:=C\cap W$. Nuestro objetivo es demostrar que el $B=\emptyset$.

Tenga en cuenta que $A$ es abierto y no vacío. De $C=\operatorname{int}(C)\cup\{p\}, p\in V$ $C\cap V\cap W=\emptyset\,$ obtenemos $B\subseteq\operatorname{int}(C)$; en particular, $B=\operatorname{int}(C)\cap W$ es abierto y tenemos $A\cap B=\emptyset$ (de nuevo debido a que $C\cap V\cap W=\emptyset$). Desde $X=A\cup B$ $X$ está conectado, se deduce que el $A=\emptyset$, como se desee.