¿Existen teorías físicas que requieran que el axioma de elección sea "verdadero" para funcionar?

Question

Me he estado preguntando sobre el axioma de la elección y cómo se relaciona con la física. En particular, me preguntaba cuántas teorías físicas verificadas experimentalmente (si es que hay alguna) requieren el axioma de la elección (o del buen orden) y si alguna teoría requiere realmente la constructibilidad. Como estudiante de matemáticas, siempre me han dicho que el axioma de elección se invoca por los hermosos resultados que se derivan de su asunción. ¿Hay alguna teoría física dominante que requiera la AC o la constructibilidad? Si es así, ¿cómo requieren la AC o la constructibilidad?

Answer 1

No, nada en la física depende de la validez del axioma de elección porque la física se ocupa de la explicación de los fenómenos observables. Las colecciones infinitas de conjuntos -y son el tema del axioma de elección- obviamente no son observables (sólo observamos un número finito de objetos), así que la física experimental no puede decir nada sobre la validez del axioma de elección. Si pudiera decir algo, sería muy paradójico porque el axioma de elección se trata de pura matemática y, además, las matemáticas pueden demostrar que tanto los sistemas con CA como los que no lo son son igualmente consistentes.

La física teórica no es diferente porque se ocupa de varios objetos bien definidos y "construibles", como los espacios de funciones o funcionales reales o complejos.

Para un físico, al igual que para un matemático de mente abierta y basada en la evidencia, el axioma de elección es una cuestión de preferencias y "creencias" personales. Un físico podría decir que cualquier objeto no construible, como un determinado "conjunto de elementos" seleccionados cuya existencia postula el axioma de elección, es "no físico". En matemáticas, el axioma de elección puede simplificar algunas pruebas, pero si yo tuviera que decidir, elegiría un marco más sólido en el que el axioma de elección no fuera válido. Una ventaja particular de esta elección es que no se puede demostrar la existencia de conjuntos no medibles en la teoría de la medida de Lebesgue. En consecuencia, se puede añadir un axioma adicional muy conveniente y elegante, según el cual todos los subconjuntos de los números reales son medibles, una ventaja que los físicos aprecian más porque utilizan las medidas a menudo, aunque no hablen de ellas.

Answer 2

Los argumentos rigurosos en el análisis funcional se simplifican mucho empleando el axioma de elección. Como somos libres de modelar nuestra física en cualquier teoría de conjuntos que queramos, y cualquier teoría de conjuntos que contenga ZF contiene un modelo de ZFC, tenemos derecho a utilizar esta simplificación sin miedo a la inconsistencia. Descartar el axioma de elección sólo haría más tediosos los conceptos y las pruebas, sin dar un mayor grado de seguridad en los resultados.

Por ejemplo, la demostración estándar del teorema espectral para operadores autoadjuntos depende del axioma de elección, creo, y gran parte de la física matemática depende del teorema espectral.

Por otra parte, ya en el nivel de la física teórica, a menudo se sustituyen escrupulosamente las integrales por sumas finitas, se toman límites sin tener en cuenta su existencia matemática y se emplean muchas otras artimañas matemáticamente dudosas para llegar rápidamente a los resultados.

Así que en este nivel de razonamiento, nada depende de sutilezas que sólo marcan la diferencia cuando uno empieza a preocuparse por definiciones y argumentos precisos en presencia del infinito.

Answer 3

El siguiente documento puede ser de interés:

Norbert Brunner, Karl Svozil, Matthias Baaz, " El axioma de elección en la teoría cuántica ". Revista de Lógica Matemática , vol. 42 (1) pp. 319-340 (1996).

El resumen es el siguiente:

Construimos espacios de Hilbert peculiares a partir de contraejemplos del axioma de elección. Identificamos los hamiltonianos intrínsecamente eficaces con aquellos observables de la teoría cuántica que pueden coexistir con tales espacios. Aquí un operador autoadjunto es intrínsecamente efectivo si y sólo si la ecuación de Schrödinger de su semigrupo generado es soluble mediante expansiones en serie de funciones propias.

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También es relevante el hecho de que el análisis clásico no requiere mucho más que la elección dependiente, que es consistente con "Todos los conjuntos de reales son medibles por Lebesgue". Sin embargo, la combinación de las dos afirmaciones requiere un supuesto más fuerte como teoría (cardinales inaccesibles).

Sin embargo, lo que me desconcierta de los físicos que tienen fuertes objeciones a la paradoja de Banach-Tarski, es que hace mucho menos sentido de que un conjunto puede dividirse en estrictamente más partes [no vacías] que elementos. Y eso es una consecuencia de que todos los conjuntos sean medibles por Lebesgue.

Así que, mientras usted puede dormir tranquilo sabiendo que no puede dividir una naranja en cinco partes y combinar las partes en dos naranjas (solucionando así el hambre en el mundo), tiene un problema igualmente inquietante. Puedes cortar una línea [léase: los números reales] en más partes que puntos.

Answer 4

La formulación del libro de texto del análisis funcional depende del axioma de elección, por ejemplo, a través de Hahn-Banach .

Esto significa que descartar el axoim de elección romperá también la formulación de libro de texto de la mecánica cuántica. Sin embargo, como estamos tratando con espacios de Hilbert (separables), existen bases contables y deberíamos poder sustituir el axioma de elección por una alternativa menos "paradójica" como la Modelo Solovay y aún así obtener la física correcta.

Sin embargo, no se puede recuperar el teorema completo de Hahn-Banach, ya que implica la existencia de un conjunto inconmensurable .

Answer 5

El axioma de elección puede aplicarse en todos los problemas matemáticos relativos a la física. Sin embargo, allí no es necesario porque hay a lo sumo conjuntos potencialmente infinitos y cada elemento puede ser elegido sin necesidad de un axioma.

El axioma de elección ha adquirido su mala reputación porque conduce a contradicciones con conjuntos incontables. Pero es un axioma muy natural y se aplica con frecuencia sin previo aviso en matemáticas, como ha señalado correctamente Zermelo al defender su invento contra las objeciones de Borel, Peano, Poincaré y otros. [E. Zermelo: "Neuer Beweis für die Möglichkeit einer Wohlordnung", Math. Ann. 65 (1908) pp. 107-128]

El problema es sólo, como ya se ha dicho, la aplicación del axioma a conjuntos incontables. En la historia de las matemáticas, era habitual fijar convenciones de hecho mediante un axioma, como "es posible trazar una línea recta desde cualquier punto hasta cualquier punto" o "si n es un número natural, entonces n+1 es un número natural". La aplicación del axioma de elección reivindica por primera vez una convención contrafáctica, a saber, elegir un elemento sin saber qué se elige.

Al menos en 1904 estaba claro que sólo hay un número contable de cadenas de letras finitas, incluidas las que definen objetos matemáticos. Cantor conocía este teorema, como escribió en una carta a Hilbert en 1906, aunque no creía que fuera cierto. "Si fuera cierto el teorema de König, según el cual todos los números reales 'finitamente definibles' forman un conjunto de cardinalidad aleph_0, esto implicaría que todo el continuo fuera contable, y eso es ciertamente falso". [G. Cantor, carta a D. Hilbert (8 de agosto de 1906)]

Hoy no hay duda de que el teorema de König es cierto. Para mantener la teoría de conjuntos transfinitos, es necesario tener el axioma de elección (en este ámbito) contrafáctico para demostrar el teorema básico de la teoría de conjuntos: Todo conjunto puede estar bien ordenado. De lo contrario, gran parte de la teoría de conjuntos ordinales sería indemostrable. Por lo tanto, los teóricos de conjuntos han acordado que el axioma es "no constructivo", es decir, podemos demostrar que podemos elegir cada elemento, pero no podemos elegir cada elemento. Aunque Zermelo utilizó el axioma para demostrar que todo conjunto puede estar bien ordenado, es decir, pensó que se podía hacer y no sólo demostrar que se podía hacer, sabiendo que de hecho no se puede hacer. [E. Zermelo: "Beweis, daß jede Menge wohlgeordnet werden kann", Math. Ann. 59 (1904)]

Pero, ¿cuál es el valor de un axioma contrafáctico? Podríamos enunciar muchos otros axiomas de igual valor como:

• Axioma de tres puntos en una línea: Todo triple de puntos pertenece a una recta. (Pero en la mayoría de los casos no se puede dar ninguna construcción geométrica).

• Axioma de los diez primos pares: Hay 10 números primos pares. (Pero, de forma demostrable, no existe ningún método aritmético para encontrarlos).

• Axioma de los triples de números primos: Existe un segundo triple de números primos, además de (3, 5, 7). (Pero se puede demostrar que este segundo triple no es definible aritméticamente).

• Axioma de la escasa suma: Existe un conjunto de n números naturales positivos diferentes con suma n*n/2. (Este axioma no es constructivo. Provablemente no se puede construir tal conjunto).

Todas las teorías basadas en tales axiomas tendrían el mismo valor que la teoría de conjuntos transfinitos, es decir, ninguno.

Teniendo esto en cuenta e ignorando los intentos absurdos de aplicar alfabetos incontables o definiciones infinitas para definir elementos incontables, podemos estar seguros de que el axioma de elección es verdadero en todo mundo con matemáticas correctas y, por tanto, sin conjuntos incontables.

Nota a pie de página.

Los conjuntos contables e incontables requieren un infinito completo, acabado o real como el conjunto completo de todos los números naturales para cuantificar sobre él. ¿Pero qué significa cuantificar sobre todos los números naturales? ¿Significa tomar sólo los números naturales que tienen la propiedad característica de todos los números naturales, es decir, ser seguidos por infinitos números naturales? Entonces no se toman todos porque siempre quedan infinitos. ¿O tomas todos los números naturales sin excepción? Entonces incluyes algunos que no son seguidos por infinitos y por lo tanto no son números naturales porque carecen de la propiedad característica de todo número natural. Eso significa que se obtienen más de todos los números naturales.

Para abreviar: el conjunto de todos los números naturales es un conjunto que no puede existir porque sus elementos no pueden estar juntos en un conjunto. Por lo tanto, tenemos como máximo el infinito potencial. El infinito real con conjuntos contables e incontables es una contradictio in adjecto.

Aunque el objetivo de Cantor era aplicar la teoría de conjuntos a problemas físicos, químicos e incluso psicológicos y políticos

"La tercera parte contiene las aplicaciones de la teoría de conjuntos a las ciencias naturales: física, química, mineralogía, botánica, zoología, antropología, biología, fisiología, medicina, etc. Es lo que los ingleses llaman "filosofía natural". Además tenemos las llamadas 'humanidades', que, en mi opinión, tienen que llamarse también ciencias naturales, porque también la 'mente' pertenece a la naturaleza." [G. Cantor, carta a D. Hilbert (20 de septiembre de 1912)]

sus ideas han resultado ser inaplicables en todas partes y en particular en la física.