Mostrar que $\mu$ es el Lebesgue-Stieltjes medida correspondiente a la $\alpha$

Question

Estoy preparando el examen para la medida de Lebesgue cursos, y estoy atascado con el problema de el libro "análisis Real para los estudiantes de posgrado"

El problema es el siguiente.

Deje $\mu$ ser una medida en la Borel-$\sigma$ álgebra de $\mathbb{R}$ tal que $\mu(K) < \infty$ Siempre $K$ es compacto, definir $\alpha (x) = \mu((0,x])$ si $x \geq 0$ $\alpha(x) = -\mu((x,0])$ si $x < 0$. Mostrar que $\mu$ es el Lebesgue-Stieltjes medida correspondiente a la $\alpha$

El único indicio que tengo hasta el momento es que tengo uso de Caratheodory Extensión Thorem. Podría alguien ayudar a resolver eso?

Gracias de antemano.

Answer 1

Ir fuera de user8268 comentario, es fácil ver que la función de $\sigma((a,b]):=\alpha(b)-\alpha(a)=\mu((a,b])$. El Caretheodory extensión del teorema dice que únicamente pueden extender esta medida $\sigma$ a una medida de Borel $\nu$ tal que $\nu((a,b])=\mu((a,b])$. Por la singularidad, $\mu$ es precisamente la de Lebesgue-Stieltjes medida de $\alpha$.