Resto del numerador de una suma armónica módulo 13

Question

Dejemos que $a$ sea el número entero determinado por $$\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+...+\frac{1}{23}=\frac{a}{23!}.$$ Determinar el resto de $a$ cuando se divide por 13.

¿Puede alguien ayudarme con esto, o darme alguna pista?

Answer 1

Tenga en cuenta que

$$a = \frac{23!}{1} + \frac{23!}{2} + \dots + \frac{23!}{23}$$

Como cada término es un número entero, $a$ es un número entero.

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Para encontrar $a \pmod{13}$ (si es eso lo que preguntas), observa que debido al término factorial, cada una de estas fracciones tiene al menos un factor de $13$ , excepto $\frac{23!}{13}$ .

Por lo tanto, tendrá que determinar

$$a \equiv 1\cdot2\cdot\dots12\cdot14\cdot15\cdot\dots23 \pmod{13}$$

que se puede hacer rápidamente utilizando el Teorema de Wilson:

$$12!\equiv-1\pmod{13}$$

y $$\begin{align}14\cdot15\cdot\dots23&\equiv 1\cdot2\cdot\dots\cdot10 \pmod{13}\\ &\equiv 12!\cdot12^{-1}\cdot{11}^{-1}\pmod{13}\\ &\equiv 12!\cdot12\cdot6\pmod{13}\\ &\equiv -1 \cdot -1\cdot6\\ &\equiv 6\end{align}$$

Multiplicando ambos, obtenemos

$$\begin{align}a&\equiv -6 \pmod{13}\\ &\equiv 7 \pmod{13}\end{align}$$

Answer 2

SUGERENCIA:

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Toma la ecuación:

$\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+...+\frac{1}{23}=\frac{a}{23!}$

Multiplica cada lado por $23!$ :

$\frac{23!}{1}+\frac{23!}{2}+...+\frac{23!}{23}=a$

Dividir cada lado por $13$ :

$\frac{23!}{1\times13}+\frac{23!}{2\times13}+...+\frac{23!}{23\times13}=\frac{a}{13}$

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Sólo hay una no enteros elemento de la serie: $\frac{23!}{13\times13}$ .

Por lo tanto, el resto de $a$ cuando se divide por $13$ es igual al resto de $\frac{23!}{13}$ cuando se divide por $13$ .

En otras palabras: $a\equiv\frac{23!}{13}\pmod{13}$ .

Answer 3

Para todos los términos, excepto $1/13$ el numerador es un múltiplo de $13$ .
El resto es el mismo que el resto de $1.2.3...12.14.15...23$ .
Utilice el Teorema de Wilson para $1.2...12\pmod{13}$ y $14.15...25\pmod{13}$ y luego ajustar para el 24 y el 25.
'resto' y 'resto' son sinónimos para el inglés ordinario, pero no para este significado matemático.

Answer 4

$a$ no se puede dividir por 13. Porque 23 / 13 no es divisible por 13 y el resto es $7$

Answer 5

Por el teorema de Wilson, $12!\equiv -1\pmod{13}$ .

Por el teorema de Wolstenholme, $H_{12}\equiv 0\pmod{13}$ . Desde:

$$ a = \sum_{k=1}^{12}\frac{23!}{k} + (12!)(14\cdot 15\cdot\ldots\cdot 23)+\sum_{k=14}^{23}\frac{23!}{k} $$ que tenemos: $$ a\equiv 0-10!+0 \equiv \frac{-12!}{11\cdot 12}\equiv \frac{1}{(-2)\cdot(-1)}\equiv\frac{1}{2}\equiv\color{red}{7}\pmod{13}$$ desde $11\equiv -2\pmod{13}$ y $12\equiv -1\pmod{13}$ .