¿Cuáles son degenerados ecuaciones en derivadas parciales y por qué ponderado de Sobolev en espacios son útiles?

Question

Como dice el título, ¿qué es exactamente un degenerado pde? Creo que es un pde donde tiene un coeficiente que se dispara hasta el infinito en un punto. ¿Por qué es que la gente usa ponderado de Sobolev en espacios para mostrar la existencia? Puedo obtener una Referencia al lugar donde un teorema de existencia se da en la ponderado de Sobolev en espacios? El más básico.

Agradecería una parabólica de configuración en lugar de sólo una elíptica caso. Gracias.

Answer 1

A cada segundo orden elíptica de la PDE $$Lu = f$$on $\Omega \subconjunto \mathbb{R}^n$, where $L$ is an elliptic operator and $f$ a measurable function, is associated a positive-definite, bounded, symmetric coefficient matrix $$Q(x) = [q_{ij}(x)], i,j = 1,\ldots n.$$ That is, the quadratic form $$\mathcal{Q}(x,\xi) = \xi^\top Q(x) \xi$$ satisfies, for some $c,C > 0$ $$c|\xi|^2 \leq \mathcal{Q}(x,\xi) \leq C|\xi|^2$$ for almost every $x \in \Omega$ and every $\xi \in \mathbb{R}^n$. It has been shown by various authors (but most fundamentally Di Georgi, Nash and Moser) that in the presence of local Sobolev and Poincare inequalities, and with the existence of an accumulating sequence of Lipschitz cutoff functions, that weak solutions to $Lu = f$ existen y son el Titular continuo. Como es bien sabido, la debilidad de las soluciones de vivir en espacios de Sobolev, de ahí su importancia para el sujeto.

Ahora, supongamos que relajar la condición de la forma cuadrática. Llame a $Lu = f$ degenerados elíptica si sólo tenemos que $$0 \leq \mathcal{Q}(x,\xi) \leq C|\xi|^2.$$ In particular, we say that $Q$ degenerates at $x \in \Omega$ if there exists $\xi \neq 0$ such that $\mathcal{P}(x,\xi) = 0$. Como resulta, permitiendo que la forma cuadrática desaparecer las causas principales dificultades en la adaptación de la teoría de soluciones débiles. Soluciones débiles todavía existen, pero el NO vivir, por más tiempo, en espacios de Sobolev. En su lugar, como ha sido demostrado por Sawyer y Wheeden (2009) y Rodney (2012), que residen en degenerada espacios de Sobolev, que son un poco más difíciles de tratar.

Estos espacios se definen con referencia en particular a la matriz $Q$ con el que estamos trabajando. Así que, dado que este tipo de matriz $Q$, definir la (posiblemente infinita) de la norma $$||w||_{QH^{1,p}(\Omega)} = \left( ||w||_p^p + \int_\Omega |\nabla w^\top Q(x) \nabla w|^\frac{p}{2} dx\right)^\frac{1}{p}$$ on $Lip_{col}(\Omega)$, the space of locally Lipschitz functions. Note that the gradients of such functions exist almost everywhere by the Rademacher-Stepanov theorem. We define the degenerate Sobolev space $QH^{1,p}(\Omega)$ as the completion of the $$\{w \in Lip_{loc}(\Omega) : ||w||_{QH^{1,2}(\Omega)} < \infty\}$$ analogously to the (secondary) definition of classical Sobolev spaces, but the the gradient norm weighted to the matrix $Q$.

Como una observación, cuando usted está leyendo acerca de este tema en Sawyer y Wheeden del papel, por ejemplo, que ellos llaman los espacios definidos de esta manera $W^{1,p}_Q (\Omega)$, aunque esto va en contra de los nombres dados a los clásicos espacios.