¿Cuáles son las diferentes maneras de calcular la $\int_{0}^{+\infty}\frac{\cos x}{a^2+x^2}dx$?

Question

Estoy interesado para calcular la siguiente integral

$$I=\int_{0}^{+\infty}\frac{\cos x}{a^2+x^2}dx$$

donde $a\in\mathbb{R}^+$. Permítanme explicar mi primera idea. Como el integrando es una función par de $x$

$$2I=\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{\cos x}{a^2+x^2}dx=\lim_{R\to+\infty}\int_{-R}^{R}\frac{\cos x}{a^2+x^2}dx:=\lim_{R\to+\infty}J$$

Así, lo primero que se centran en calcular el $J$ integral por primera modificación de la siguiente manera

\begin{align*} J&=\int_{-R}^{R}\frac{\cos x}{a^2+x^2}dx=\int_{-R}^{R}\frac{\cos x}{a^2+x^2}dx+i\int_{-R}^{R}\frac{\sin x}{a^2+x^2}dx \\ &= \int_{-R}^{R}\frac{(\cos x+i\sin x)}{a^2+x^2}dx = \int_{-R}^{R}\frac{\exp(ix)}{a^2+x^2}dx \end{align*}

Entonces, yo uso las técnicas bien conocidas de la teoría de variable compleja. En primer lugar, puedo sustituir la variable real $x$ $J$ con una variable compleja $z$ y considerar la posibilidad de un contorno integral sobre la $C=C_1\cup C_2$

$$K:=\int_{C}\frac{\exp(iz)}{a^2+z^2}dz$$

Entonces, de acuerdo a la integral de Cauchy teorema y el teorema de los Residuos, tengo

\begin{align*} K=J+\int_{C_2}\frac{\exp(iz)}{a^2+z^2}dz &= \int_{C_3}\frac{\exp(iz)}{a^2+z^2}dz=\int_{C_3}\frac{\exp(iz)}{(z+ia)(z-ia)}dz \\ &=2\pi i \frac{\exp(i^2a)}{2ia}=\frac{\pi}{a}\exp(-a) \end{align*}

Siguiente, teniendo el límite de $R\to+\infty$ a partir de la anterior relación, se obtiene

$$2I+\lim_{R\to+\infty}\int_{C_2}\frac{\exp(iz)}{a^2+z^2}dz=\frac{\pi}{a}\exp(-a)$$

pero, podemos demostrar que

$$\lim_{R\to+\infty}\int_{C_2}\frac{\exp(iz)}{a^2+z^2}dz=0$$

y entonces podemos obtener el resultado final

$$I=\frac{\pi}{2a}\exp(-a)$$

En primer lugar, por favor revise mis pasos para ver el resultado final es correcto o no. Segundo, ¿hay alguna otra manera de calcular las $I$?

Answer 1

Para cualquier $a>0$, $$ I(a)=\int_{0}^{+\infty}\frac{\cos(x)}{x^2+a^2}\,dx = \frac{1}{a}\int_{0}^{+\infty}\frac{\cos(ax)}{1+x^2}\,dx = \frac{J(a)}{a} $$ y la transformada de Laplace de $J(a)$ está dado por $$ \int_{0}^{+\infty}J(a) e^{-sa}\,da = \int_{0}^{+\infty}\int_{0}^{+\infty}\frac{\cos(ax)e^{-sa}}{1+x^2}\,dx\,da $$ o, invocando el teorema de Fubini y la integración por partes: $$ \int_{0}^{+\infty}\frac{s}{(1+x^2)(s^2+x^2)}\,dx =\frac{\pi}{2(1+s)}$$ por parcial fracción de descomposición. $\mathcal{L}^{-1}$ da $J(a)=\frac{\pi}{2}e^{-a}$ $I(a)=\frac{\pi}{2a}e^{-a}$ como quería.

Answer 2

Un lugar exótico enfoque conduce a un conocido funcional de la ecuación, que tiene una solución exponencial.

Considere una función de ($a>0$):

$$f(a)=a \int_{-\infty}^\infty \frac{\cos x}{a^2+x^2} dx=\int_{-\infty}^\infty \frac{\cos a x}{1+x^2} dx=\pi e^{-a}$$

Vamos a la plaza y cambiar la variable ficticia:

$$f^2(a)=\int_{-\infty}^\infty \int_{-\infty}^\infty \frac{\cos a x \cos a y}{(1+x^2)(1+y^2)} dx dy=$$

$$=\frac{1}{2} \int_{-\infty}^\infty \int_{-\infty}^\infty \frac{\cos a (x-y)+ \cos a (x+y)}{(1+x^2)(1+y^2)} dx dy$$

Debido a los límites infinitos, podemos fácilmente hacer cambios en la forma $x \pm y=t$, lo que llevará a la siguiente expresión bajo la integral:

$$\frac{\cos a t}{y^2+1} \left(\frac{1}{(y+t)^2+1} +\frac{1}{(y-t)^2+1} \right)$$

Haremos parcial de la fracción de la descomposición de integrar w.r.t. $y$.

$$\frac{1}{((y+t)^2+1)(y^2+1)}=\frac{1}{t (4+t^2)} \left(\frac{2y+3t}{(y+t)^2+1}-\frac{2y-t}{y^2+1} \right)$$

$$\frac{1}{((y-t)^2+1)(y^2+1)}=\frac{1}{t (4+t^2)} \left(\frac{-2y+3t}{(y-t)^2+1}-\frac{-2y-t}{y^2+1} \right)$$

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Vamos a examinar por separado la 'problemática' integrales, pero con límites finitos:

$$\int_{-L}^L \frac{2y dy}{(y+t)^2+1}=\int_{-L-t}^{L+t} \frac{2u du}{u^2+1}-2t\int_{-L-t}^{L+t} \frac{du}{u^2+1} $$

La primera integral se desvanece, el segundo después de tomar el límite de $L \to \infty$, nos da $-2 \pi t$. De la misma manera nos encontramos con la otra integral con $(y-t)^2$.

Así que los dos 'problemático' integrales nos aportan:

$$-2 \pi \int_{-\infty}^\infty \frac{\cos at ~dt}{4+t^2}$$

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La agrupación de los otros términos, se obtiene:

$$\frac{3t}{(y+t)^2+1}+\frac{3t}{(y-t)^2+1}+\frac{2t}{y^2+1}$$

Después de la integración w.r.t. $y$ y sumando todos los resultados, obtenemos:

$$f^2(a)=2\pi \int_{-\infty}^\infty \frac{\cos at ~dt}{4+t^2}=\pi f(2a)$$

El funcional de la ecuación:

$$f^2 (a)=\pi f(2a)$$

tiene una solución general:

$$f(a)=\pi e^{c a}$$

Debemos tener $c<0$, como puede verse al considerar la integral original definición y tomando el límite de $a \to \infty$.

No estoy seguro de cómo demostrar a $c=-1$, pero debería ser posible.

Answer 3

Otra forma es probar $$\int_\mathbb{R}\dfrac{a}{\pi}\dfrac{e^{ikx}}{a^2+x^2}=\exp -a|k|$$for $un>0$, by noting we're just trying to compute the characteristic function of a Cauchy distribution. The inversion theorem implies we need only check this characteristic function gives the right pdf. To prove $$\int_\mathbb{R}\exp (-ikx-a|k|)dk=\dfrac{2a}{a^2+x^2},$$write the left-hand side as the sum of integrals either side of $k=0$. The left-hand side is then $$\dfrac{1}{a+ix}+\dfrac{1}{a-ix},$$como se requiere.