Las raíces reales del polinomio cúbico

Question

Consideremos el polinomio $$f(X)=X^3+aX^2-(3+a)X+1\in\mathbb{Q}[X]$$ where $un\in\mathbb Z$. Simple observations show that it is irreducible and has 3 real roots. If $\alpha$ is one root we can even see that the splitting field is $\mathbb Q(\alpha)$ since a second root is $1/(1-\alfa)$.

Mi pregunta: ¿hay una manera de escribir $1/(1-\alpha)$ como una combinación lineal de $\alpha$? Y si es así, ¿existe un método general o truco para encontrarlo?

Hasta ahora he tratado de ampliar la fracción que hasta que no haya un número entero demoninator pero sin ningún éxito.

Answer 1

Tenga en cuenta que $\alpha$ satisface $\alpha^3 = -a\alpha^2 + (3+a)\alpha - 1$. En base a $\{1,\alpha,\alpha^2\}$, la multiplicación por $1-\alpha$ corresponde a la matriz $$A=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ -1 & 1 & -3-a \\ 0 & -1 & 1+a \end{pmatrix}$$

Ahora encontrar $A^{-1}$, existe porque ecuación original es irreductible. Deje $c_0,c_1,c_2$ ser entradas de la 1 de la columna de $A^{-1}$, luego $$1/(1-\alpha) = c_0 + c_1 \alpha + c_2 \alpha^2 $$

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Como alternativa, utilice Euclidiana alogorithm encontrar polinomios $r(x),s(x)$ tal que $$(1-x) r(x) + f(x) s(x) = 1$$ A continuación, $$1/(1-\alpha) = r(\alpha)$$