Prueba de que el producto categórico es asociativo

Question

A pesar del título, creo que quiero mostrar algo más que la asociatividad (hasta el isomorfismo). Se trata del ejercicio 1.35(a) del libro Modern Classical Homotopy Theory de Strom ( https://books.google.co.uk/books?id=Q4GDAwAAQBAJ )

Demuestre que si uno de los prductos $X\times(Y\times Z)$ y $(X\times Y)\times Z$ existe en $\mathcal{C}$ entonces también lo hace la otra, y son isomorfas. (No hay suposiciones especiales sobre $\mathcal{C}$ .)

No entiendo cómo las propiedades universales de, por ejemplo, los productos de $X$ y $Y\times Z$ y de $Y$ y $Z$ implica que $X\times Y$ existe. No sé cuál sería un objeto "candidato" para este producto.

Answer 1

Esto no es cierto en esta generalidad. Tenemos que suponer la existencia de ambos $X\times Y$ y $Y\times Z$ para esta declaración exacta.

Un contraejemplo: tomemos el conjunto parcialmente ordenado en $\{0,\,a,b,c,x,y,z\}$ mediante la definición de relaciones $$a\le x,\ b\le x,\ a\le y,\ b\le y,\ c\le y,\ c\le z\,,$$ et $0\le$ todo.
En un poset, el producto directo es el mayor límite inferior, por lo que no hay $x\times y$ pero $y\times z=c\ $ y $x\times c=0$ Así que $x\times(y\times z)$ existe.

Sin embargo, la siguiente afirmación similar es válida sobre ternario producto directo, es decir, el límite de la forma del diagrama de $3$ objetos:

Si cualquiera de los dos $(X\times Y)\times Z$ o $X\times(Y\times Z)$ existe en una categoría $\mathcal C$ entonces el producto ternario $X\times Y\times Z$ existe y es isomorfo a él.