Existencia de un sistema de coordenadas

Question

¿Cómo podemos formalmente muestran que un sistema de coordenadas $(x,y)$ existe o no existe? Por ejemplo, algún sistema de coordenadas $(r,\phi,\theta)$ definido en el colector $M =(1,\infty)\times\mathbb{S}^2$, ¿existe un sistema de coordenadas $(s,\phi,\theta)$ para algunos tensor: $$h=ds⊗ds+g(s)^2(d\phi⊗d\phi+\cos^2\phi \space d\theta⊗d\theta)$$ where $g(s)$ es una positiva función suave.

NOTA: Hay algunos $2$-tensor dado en $M$ por: $$f=\frac{r}{r^3+r-2}dr \otimes dr +r^2d\phi \otimes d\phi + r^2\cos^2\phi \space d\theta\otimes d\theta$$

Este es un problema estoy atascado con días ya, no sé la manera formal de la prueba de tales sistemas de coordenadas de existir, dado que algunos colector $M.$ le agradecería la ayuda.

Answer 1

Esta respuesta supone la interpretación de la pregunta que me he propuesto en los comentarios: dado el tensor de

$$h=\frac{r}{r^3+r-2}dr \otimes dr +r^2d\phi \otimes d\phi + r^2\cos^2\phi \space d\theta\otimes d\theta$$

definido en $M=(1,\infty)\times \mathbb S^2$ donde $\theta,\phi$ son el estándar de coordenadas esféricas, encontrar un cambio de coordinar $s=s(r)$ y una función suave $g$, de modo que $$h=ds \otimes ds+g(s)^2(d\phi \otimes d\phi+\cos^2\phi \space d\theta\otimes d\theta).$$

Que de inmediato se puede leer en $r^2 = g(s)^2;$, de modo que la parte más difícil es encontrar el cambio de coordenadas. Desde $ds = \frac{ds}{dr}dr,$ igualando las dos expresiones para $h$ por encima de los rendimientos $$\frac r{r^3 + r - 2}dr \otimes dr = \frac{ds}{dr}dr \otimes \frac{ds}{dr}dr$$ and thus $$\frac{ds}{dr} = \pm \sqrt{\frac{r}{r^3 + r - 2}}.$$ Since $r^3+r-2>0$ for $r>1,$ the RHS here is real with constant sign; so we can integrate it to find a general solution $s(r)$ que es inyectiva y por lo tanto un cambio válido de coordenadas:

$$s(r') = s(1) \pm \int_1^{r'}\sqrt{\frac{r}{r^3 + r - 2}}\,dr.$$ Esta integral no tiene ninguna expresión en términos de funciones elementales, por lo que me acaba de dejar por escrito como este; si usted trata de un CAS que usted puede conseguir algunos horrible expresión en términos de las integrales elípticas.